Wiskunde is leuk

Opgave 25

Geplaatst op 2 oktober 2018 door admin

Wanneer is het produkt P van de eerste n natuurlijke getallen deelbaar door hun som S?

Antwoord

Omdat deelbaarheid van een getal door een ander getal een kwestie is van aan te tonen dat de factoren van ene getal ook factoren zijn van het andere getal, gaan we de som 1 + 2 + 3 +… + n vervangen door $\frac{1}{2}n(n+1)$ .
Voor n = 1 is het duidelijk dat er deelbaarheid is. We nemen dus $n>1$ .
Er is geen reden om n op een bepaalde manier te bekijken, dus zijn we het best gediend met 2 hoofdgevallen te bekijken : n even en n oneven.
Als n oneven is, stellen we $n = 2m + 1$ . Dan is $S=(2m+1)(m+1)$ en $P=1.2....m(m+1)....(2m+1)$ . Het is duidelijk dat de twee factoren 2m+1 en m+1 in S ook factoren zijn van P. Besluit: als n oneven is dan is P altijd deelbaar door S.
Als n even is, stellen we n=2m en dan is $S=m(2m+1)$ en $P=1.2.....m.....2m$ . De factor m uit S is dus zeker al een factor van P.
Rest dus nog de vraag wanneer $\frac{1.2...m....2m}{m}$ deelbaar is door 2m+1? Als 2m+1 een priemgetal is komt het zeker niet voor in $1.2....(m-1)(m+1)...2m$ .
Als 2m+1 geen priemgetal is dan schrijven we $2m+1=a.b$ met $1<a\leq b$ . Dit betekent onder meer dat $2m \geq 3$ . Uiteraard is $b\leq 2m-1$ . Als nu $a<b$ , dan staan beide factoren a en b in het produkt $1.2....(m-1)(m+1)...2m$ .
Blijft nog de mogelijkheid dat a=b. Het is duidelijk dat a>2, waaruit volgt dat $a-1 \geq 2$ , $a^2-a\geq 2a$ , $a^2-2>2a$ en dus $2m-1>2a$ . Hieruit volgt dat a en 2a allebei als factoren voorkomen in $1.2....(m-1)(m+1)...2m$ .
Algemeen besluit: P is niet deelbaar door S als n+1 een oneven priemgetal is.