Tag archieven: oefeningen

Nootje 9

Geplaatst op 29 april 2019 door admin

Antwoord

Noteer de drie zijden van de driehoek door $a,b$ en $c$ en de hoogtelijnen door $h_a,h_b$ en $h_c$ .
Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde.
Veronderstel dat $a$ de grootste zijde is dan is $a\geq \frac{2}{3}$ .
De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan $\frac{1}{2}a.h_a$ , maar ook gelijk aan $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ . Hierin is $p$ de halve omtrek en dus is $p=1$ .
Bijgevolg is $\frac{1}{2}a.h_a = \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ of $h_a=\frac{2}{a}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 3\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ .
Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : $\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{1}{\sqrt{27}}$ .
Ten slotte is dus $h_a \leq 3.\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Geplaatst op 24 maart 2019 door admin

Antwoord

We weten dat $b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1))$ .
Nu zijn zowel $P(1)$ als $P(-1)$ volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is $b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1$ .
De maximale waarde voor b is dus 1.
Neem $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1$ . Omdat $0\leq x+1\leq 2$ is $|P(x) | \leq 1$ . Bovendien is na uitwerking $P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}$ , zodat $b=1$ .

Geplaatst op 24 augustus 2018 door admin

Antwoord

$n=1$ en $n=2$ leveren onmiddellijk kwadraten op, maar daarna duurt het precies wel even voor je terug een kwadraat krijgt. Zijn er nog wel?
De getallen $x_n$ moeten tot de restklasse 7 modulo 9 behoren en een kwadraat zijn. Opdat $x_n=m ^2$ is het nodig en voldoende dat $m^2 \equiv 7 \text{ mod } 9$ .
Het is niet moeilijk de verchillende restklassen mod 9 op te schrijven voor $m^2$ :
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} m^2&0^2&1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&6^2&7^2&8^2\\ \hline \text{ mod }9&0&1&4&0&7&7&0&4&1 \end{array}$
Dus moet $m \equiv 4 \text{ mod }9$ of $m \equiv 5 \text{ mod }9$ .
In het eerste geval is $9n+7=(9t+4)^2$ of $n=9t^2+8t+1$ . Als $n \leq 1000$ , dan moet $0\leq t\leq 10$ . Dit levert ons al 11 oplossingen.
In het tweede geval moet $9n+7=(9t+5)^2$ of $n=9t^2+10t+2$ . Als $n \leq 1000$ , dan moet $0\leq t\leq 9$ . Dit geeft ons al 10 oplossingen.
In totaal heb je dus 21 termen in de rij die een volkomen kwadraat zijn.

Geplaatst in Opgaven | Getagged oefeningen, opgaven, probleem oplossend denken, probleem oplossend denken in wiskunde, problem solving, wiskunde

Geplaatst op 20 juni 2018 door admin

Antwoord

Maken we eerst een tekening:
We proberen aan te tonen dat de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig zijn, want dan is $\dfrac{PR}{PQ}=\dfrac{PQ}{PS}$ en hieruit volgt het gestelde.
De vierhoeken PRAQ en PQSB zijn koordenvierhoeken omdat twee overstaande hoeken recht zijn.
In de eerste koordenvierhoek is $\widehat{PRQ}=\widehat{PAQ}$ omdat in een koordenvierhoek de hoek tussen een zijde en de diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de andere diagonaal. Daarom is ook $\widehat{PQS}=\widehat{PBS}$ .
Maar de hoeken $\widehat{PAQ}$ en $\widehat{PBS}$ zijn gelijk als hoeken op eenzelfde boog in de gegeven cirkel. Bijgevolg is $\widehat{PRQ}=\widehat{PQS}$ .
Via een analoge redenering is ook $\widehat{PQR}=\widehat{PSQ}$ en dus zijn de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig, zoals gevraagd.

Geplaatst in Opgaven | Getagged koordenvierhoeken, meetkunde, oefeningen, opgaven, problem solving, wiskunde

Geplaatst op 9 juni 2018 door admin

Antwoord

Even op onderzoek: welke zijn de 10-veilige getallen? Het zijn: 3,4,5,6,7,13,14,15,16,17,23,…
als x zowel 7-veilig, 11-veilig en 13-veilig moet zijn dan geldt
$\begin{cases} x\equiv 3,4 \text{ mod } 7 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8 \text{ mod } 11 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8,9,10 \text{ mod } 13 \end{cases}$
Eigenlijk staan hier 2.6.8=96 stelsels die , volgens de chinese reststelling, allemaal een unieke oplossing hebben modulo 7.11.13=1001
Tussen 1 en 1001 hebben we dus 96 oplossingen, idem tussen 1002 en 2002, tussen 2003 en 3003, …, tussen 9009 en 10010. Bijgevolg hebben we 10.96 = 960 oplossingen.
Maar misschien zijn er wel oplossingen bij die groter zijn dan 10000, vermits we tot 10010 gerekend hebben. We controleren en vinden dat $10006 \equiv -4 \text{ mod } 1001$ en dus bij deling door 7,11 en 13 respectievelijk 3,7,en 9 als rest laat. Zodoende is 10006 zowel 7-veilig als 11-veilig en 13-veilig. Het zelfde geldt voor $10007 \equiv -3 \text{ mod } 1001$ .
Bijgevolg zijn er 960 – 2= 958 getallen die zowel 7-veilig, 11-veilig als 13-veilig zijn.

Geplaatst in Opgaven | Getagged chinese reststelling, oefeningen, opgave, probleem oplossend denken in wiskunde, problem solving, wiskunde