Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Antwoord

De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor $\tan(a-b)$ .
Bovendien volgt uit $1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})}$ dat $\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1$ .
Verdeel nu het interval $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ in 8 gelijke stukken.
Noteer de 9 gegeven getallen door $a_i$ met $i=1,2,\cdots,9$ . Stel vervolgens $x_i=\text{ bgtan }(a_i)$ .
Er zijn 9 getallen $x_i$ voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen $x_i$ en $x_j$ met $x_j>x_i$ in hetzelfde interval liggen.
Dan geldt $0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}$ .
Omdat de tangensfunctie stijgend is op $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ , volgt hieruit dat $0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1$ .

Wiskunde is leuk