Tag archieven: Nim spel

Nog een luciferspel

Geplaatst op door

Een willekeurig aantal lucifers is op willekeurige wijze verdeeld over twee stapels. Twee spelers nemen om de beurt lucifers weg: ofwel van één van de hopen 1,2,of 3 lucifers ofwel van beide hopen een zelfde aantal lucifers en dan ook 1,2 of 3. De speler die de laatste lucifer(s) wegneemt, wint.

We zoeken naar gunstige situaties. Met (a,b) noteren we de situatie waarbij er a lucifers op één hoop liggen en b lucifers op de andere stapel. De situaties (a,b) en (b,a) zijn identiek.

  • Met 1 lucifer hebben we enkel de situatie (1,0) en die is natuurlijk ongunstig want de tegenstrever kan gewoon die lucifer wegnemen en wint alzo het spel.
  • Met twee lucifers heb je (2,0), en (1,1) en beiden zijn ongunstig .
  • Met 3 lucifers heb je (3,0) en (2,1). De eerste situatie is zeker ongunstig maar (1,2) of (2,1) is wel degelijk gunstig, want wat de tegenstrever ook doet, hij komt terecht in een ongunstige toestand.
  • De situaties (2,2)  en (3,1) zijn ongunstig. Bij de eerste situatie kan de tegenstrever gewoon alles wegnemen en in het tweede geval kan hij door 1 lucifer weg te nemen terechtkomen in de winnende positie (2,1). Verder  is (4,0) uiteraard gunstig.

De situaties (4k,4l) en (4k+1,4l+2) zijn altijd gunstig. De winnende strategie bestaat erin elke gegeven spelsituatie om te zetten in een gunstige situatie. In sommige spelsituaties heb je de keuze  tussen twee of zelfs drie goede zetten. Zo kan je bijvoorbeeld (8,9) omzetten in de winnende situaties (8,8) en (6,9) door respectievelijk 1 lucifer weg te nemen van de stapel met 9 lucifers ofwel door er 2 weg te nemen van de andere stapel. Kies dan nu eens de ene en dan weer de andere voortzetting om de spelstrategie minder transparant te maken voor de tegenstrever. Als de winnende spelstrategie niet kan worden uitgevoerd, bestaat de optimale strategie erin 1 lucifer weg te nemen van de hoop met het meest aantal lucifers.

De Nederlandse wiskundige W.A. Wythoff  (6 oktober 1865 – 21 mei 1939) publiceerde in 1904 een analyse van dit spel.

Lucifers rapen

Geplaatst op door

Men legt drie hopen  voorwerpen op tafel. Er zijn twee spelers. Iedere speler moet om de beurt in één hoop ten minste 1 en ten hoogste alle voorwerpen wegnemen. Wie het laatste voorwerp opraapt wint. Bestaat er een mogelijke winststrategie?

Antwoord

  1. We gaan op zoek naar winstposities. Nu  zijn (0,0,0) en (1,1,0)  duidelijk winstposities. De combinaties (1,1,1) en (2,1,0) zijn verliessituaties, want de tegenstrever kan door 1 voorwerp weg te nemen steeds in een winstsituatie komen.
  2. Het idee groeit dat een binaire notatie ons kan helpen.  Vanaf nu wordt alles dus binair genoteerd!
  3. Dus (10,1,0) , maar ook (10,1,1) zijn verliessituaties. Maar (10,10,0) en is een winstsituatie, want als de tegenstrever de hele eerst hoop weghaalt, doe jij dat met de tweede hoop en win je dus. Neemt de andere speler slechts 1 voorwerp weg van de eerste hoop, doe jij dat ook bij de tweede hoop en kom je terecht bij (1,1,0) en dat is een winstsituatie.
  4. We vermoeden dat het totaal aantal enen op elke positie steeds even moet zijn voor een winstsituatie. Bij (10,10,0) heb je 0 enen op de laatste positie en 2 enen op de eerste positie. Dus dat zal een winstsituatie zijn.
  5. De speler die het eerst ervoor kan zorgen dat het totaal aantal enen op elke positie even is, zal ( als hij of zij maximaal speelt) steeds winnen. immers: als het aantal enen op elke positie even is, dan zal bij het wegnemen van een aantal voorwerpen, ten minste één cijfer 1 in een nul veranderen en dus zal de pariteit van die positie veranderen, zodat niet op elke positie het totaal aantal enen nog even is. Als omgekeerd bij bepaalde posities het aantal enen oneven is kan je steeds ervoor zorgen dat door het wegnemen van een aantal voorwerpen de pariteit op elke positie terug even is.

Het spel (of varianten daarvan) werd vermoedelijk al duizenden jaren gespeeld in het Verre Oosten. Het werd onder de naam Nim voor het eerst beschreven in 1901 door C. L. Bouton van de Harvard-universiteit, die ook de volledige theorie van het spel ontwikkelde. De naam komt wellicht van het Duitse woord nimm! hetgeen “neem!” betekent.

Het spel kan uiteraard, met dezelfde strategie, ook gespeeld worden met meer dan drie hopen.