Tag archieven: meetkundige plaats

De cirkel van Apollonius

Geplaatst op door

Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats in het vlak van alle punten p, die bij gegeven punten A en B, voldoen aan

    \[d(P,A)=r . d(P,B)\]

De naam van deze cirkel komt van de Griekse astronoom en wiskundige Apollonius van Perga( 262-190 BC). Hij was degene die kegelsnedes, zoals ellipsen, parabolen en hyperbolen, de namen gaf die we tot op de dag van vandaag nog gebruiken. Zijn achtdelige ”Konika” over kegelsnedes wordt gezien als één van de grootste werken uit de antieke meetkunde. Verder heeft hij enorm bijgedragen aan de astronomie. Dit blijkt uit de, naar hem vernoemde, Apolloniuskrater op de maan.

Merk eerst en vooral op dat als r = 1, dat de meetkundige plaats een rechte is, namelijk de middelloodlijn van \left[A,B\right].

Veronderstel nu dan dat r \neq 1. Als we de oorsprong in A leggen, de X-as door A en B en B(d,0) noemen, dan is de nodige en voldoende voorwaarde voor (x,y) om op de meetkundige plaats te leggen gegeven door x^2+y^2=k^2( (x-d)^2+y^2. Na wat rekenwerk is dit te herleiden tot

    \[\big(x-\dfrac{k^2d}{k^2-1}\big)^2+y^2=\dfrac{k^2d^2}{(k^2-1)^2}\]

Dit is inderdaad een cirkel met middelpunt M(\dfrac{k^2d}{k^2-1},0) en straal \dfrac{kd}{k^2-1}.

Als C en D de snijpunten zijn van de cirkel met de X-as, dan geldt voor elk punt P van de cirkel dat PC en PD de deellijnen zijn van de driehoek ABP. In een driehoek worden, vanwege deze eigenschap, de cirkels door een hoekpunt en door de snijpunten van de bissectrices door dat hoekpunt met de overstaande zijde de cirkels van Apollonius van die driehoek genoemd.

Een paar opmerkingen:

  • De Apollonius cirkel door A heeft als verhouding \frac{c}{b}.
  • Elk van deze cirkels staat loodrecht op de omgeschreven cirkel van de driehoek.
  • De middelpunten van de drie cirkels liggen op één lijn.    

 

 

 

 

Een meetkundige plaats

Geplaatst op door

Gegeven is een cirkel met middelpunt A en straal R en een punt B buiten de cirkel. Neem een willekeurig punt Q op die cirkel en bereken het snijpunt P van QA met de middelloodlijn van QB. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P als Q zich op d ecirkel beweegt.

  • We schakelen Geogebra in om een inpressie te krijgen van die meetkundige plaats:
  • De oplossing lijkt een hyperbool te zijn. Omdat P op de middelloodlijn van QB ligt is |PQ|=|PB| en bijgevolg is |PA|+R=|PB| of

        \[|PB|-|PA|=R\]

    Het verschil van de afstanden van P tot twee vaste punten A en B is dus constant en daarom is de meetkundige plaats inderdaad een hyperbool.

  • In de tekening zijn ook de raaklijnen uit B aan de cirkel getekent ( met raakpunten D en E). Als Q samenvalt met D of E dan bestaat P niet, omdat QA dan loodrecht staat op QB en dus evenwijdig is met de middelloodlijn.
  • Als Q samenvalt met de snijpunten van AB met de cirkel, dan vinden we de toppen van de hyperbool.
  • Als Q de grote boog DE doorloopt, dan vinden we de linkertak van de hyperbool. Het andere deel van de cirkel coorespondeert dan met de rechtertak.

De limaçon van Pascal

Geplaatst op door

Een andere voorbeeld van een ‘meetkundige’ kromme is de Limaçon van Pascal. Neem een willekeurig punt A op een cirkel met straal r. Teken door A een rechte l die de cirkel een tweede keer snijdt in P. Construeer 2 punten op l die op een afstand a van P liggen: Q_1 en Q_2. Bepaal de meetkundige plaats van deze punten als de rechte l rond A draait.

Neem de oorsprong van het assenstelsel in het middelpunt van de gegeven cirkel en de X-as door A. De rechte l heeft als vergelijking: y=\lambda (x-r). Het andere snijpunt van l met de gegeven cirkel is P(r.\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1},-2r.\dfrac{\lambda}{\lambda^2+1}). Om de meetkundige plaats te kennen van de punten Q_1 en Q_2 moeten we \lambda elimineren uit y=\lambda (x-r) en uit de vergelijking van de cirkel met middelpunt P en straal a. Dit geeft na wat berekeningen:

    \[(x^2+y^2-r^2)^2=a^2[(x-r)^2+y^2]\]

Met Geogebra krijgen we 3 constructies:

  1. Als a<2r: 
  2. Als a=2r, dan krijgen we de cardioïde:
  3. Als a>2r: 

Deze kromme, de Limaçon van Pascal, wordt genoemd naar deFranse jurist en wiskundige Etienne Pascal ( 1588-1651), de vader van, de ons meer bekende, Blaise Pascal. Vroeger onderzoek werd reeds gedaan door Dürer. De naam werd gegeven door Gilles  de Roberval. Limaçon is het Franse woord voor ‘slak’.

Strofoïde

Geplaatst op door

Analyse is het vakgebied dat zich bezighoudt met eigenschappen van functies, zoals extreme waarden, asymptoten, krommen en de door die krommen omsloten oppervlaktes en hellingen van raaklijnen.

De ontwikkeling van de analyse wordt aan Leibniz en Newton toegeschreven, eind 17e eeuw.  René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665) zijn twee Fransen die een enorme bijdrage hebben geleverd aan het ontstaan van de analyse. Ze hebben namelijk, onafhankelijk en ongeveer gelijktijdig, de analytische meetkunde bedacht.
Beiden legden het verband tussen vergelijkingen en krommen van punten die aan die vergelijkingen voldoen, op de inmiddels bekende manier: met coördinaten. Fermat ging altijd uit van een kromme, gegeven door een vergelijking, terwijl Descartes een kromme als een meetkundig object zag, waar hij in sommige gevallen een vergelijking aan kon verbinden.

In deze context willen we graag volgende opgave bekijken:

Gegeven is een rechte l en een punt A. Door A worden rechten getrokken, die l snijden. In de figuur ziet men twee van die rechten getekend. Ze snijden l in de punten M_1
en M_2. De punten van de strofoïde ontstaan nu op de volgende wijze: Pas op AM_i en zijn verlengde de stukken M_iP_1 en M_iP_2  af beide gelijk aan M_iO .  De strofoïde is de meetkundige plaats van alle punten P_i die zo geconstrueerd kunnen worden. Met GeoGebra geeft dit :

Om de vergelijking te vinden van deze meetkundige plaats nemen we als X-as de rechte OA en als Y-as de rechte l. Het punt A is gegeven door A(a,0) . Een willekeurige rechte door A heeft als vergelijking y=\lambda(x-a). Het snijpunt M heeft dan coördinaten M(0,-\lambda a). Uitdrukken dat |MO| = |MP| doen we door te eisen dat x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2.

De meetkundige plaats van alle punten P vinden we door \lambda te elimineren uit y=\lambda(x-a) en x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2. Dit geeft:

    \[y^2=\dfrac{x^2(a-x)}{a+x}\]

.

Deze kubische kromme noemt men de strofoïde. We zien ze een eerste keer verschijnen in het werk van Evangelista Torricelli in 1645. In de naam strofoïde herkennen we het griekse ‘strofos’, wat ‘gedraaide band’ betekent. De uitgang ‘oïde’ betekent ‘met de vorm van’. Met andere woorden een strofoïde is een figuur met de vorm van een gedraaide band.