majorisatie ongelijkheid

Neem 2 geordende n-tallen $x_1,\cots,x_n$ en $y_1,\cdots,y_n$ . Als $x_1 \geq x_2\geq \cdots \geq x_n$ ,
$y_1\geq y_2\geq \cdots \geq y_n$ ,
$x_1\geq y_1$ ,
$x_1+x_2\geq y_1+y_2$ , …,
$x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}\geq y_1+y_2+\cdots+y_{n-1}$ en $x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n$ , dan zeggen we dat het n-tal $(x_1,\cdots,x_n)$ het n-tal $(y_1,\cdots,y_n)$ majorizeert en we noteren $(x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n)$ .

Dit gaan we gebruiken in volgende stelling over ongelijkheden:

Als f een convexe functie is op een interval I en $(x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n)$ met $x_i,y_i \in I$ , dan zal

$f(x_1)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+\cdots+f(y_n)$

Als f strikt convex is krijg je een gelijkheid als en slechts als $\forall i: x_i=y_i$ .
Er is een gelijkaardig resultaat voor concave functies, als je de ongelijkheidstekens omdraait.
Deze stelling is een veralgemening van de ongelijkheid van Jensen, waarbij $(x_1,\cdots,x_n)> (x,\cdots,x)$ . Hierbij is x het rekenkundig gemiddelde van de getallen $x_i$ .

Een voorbeeld:

Vind de maximum waarde van $a^{12}+b^{12}+c^{12}$ als $-1\leq a,b,c \leq 1$ en $a+b+c=-\frac{1}{2}$ .

De functie $f(x)=x^{12}$ is convex op $\left[-1,1\right]$ , want $f''(x)=132x^{10}\geq 0$ op $\left[-1,1\right]$ .
Veronderstel $1\geq a \geq b\geq c\geq -1$ .
Dan is $(1,-\frac{1}{2},-1)>(a,b,c)$ , want eerst en vooral is $1\geq a$ . Verder is $-c\leq 1$ , dus is $1-\frac{1}{2} \geq -c-\frac{1}{2}=a+b$ .
Volgens de majorisatie ongelijkheid is dan $a^{12}+b^{12}+c^{12} \leq f(1)+f(-\frac{1}{2})+f(-1)=2+\frac{1}{2^{12}}$ .
De maximumwaarde van $2+\frac{1}{2^{12}}$ wordt bereikt voor $a=1$ , $b=-\frac{1}{2}$ en $c=-1$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: majorisatie ongelijkheid