Wiskunde is leuk

Opgave 13

Geplaatst op 6 maart 2018 door admin

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?

Antwoord

Noteer 2017 = x en 2018 = y, dan moeten we zoeken welke van de twee, $x^y$ of $y^x$ , het grootst is. Hierbij is $0<x<y$ .
Als we zouden veronderstellen dat $x^y > y^x$ , dan is komt dit neer op $y \ln x > x \ln y$ , want de natuurlijke logaritmische functie is stijgend.
Dit is te herschrijven als : $\dfrac{\ln x}{x}> \dfrac{\ln y}{y}$ .
Daaro onderzoeken we de functie $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Bijgevolg is $f'(x)<0$ als $x>e$ , en is f daar dalend.
Klaar! : Omdat $e<x<y$ en omdat f dalend is rechts van e, zal de volgorde van de beelden worden omgedraaid , dus $f(x)>f(y)$ en bijgevolg is
$2017^{2018}>2018^{2017}$

Wat is het grootst: a^b of b^a?

Geplaatst op 1 januari 2017 door admin

We zien onmiddellijk dat $2^3<3^2$ , dat $2^4=4^2$ en dat $2^5>5^2$ . Maar kan je zonder rekentoestel bepalen of $3^\pi$ kleiner of groter is dan $\pi^3$ ? Lees het onderzoek hierover in volgende tekst.

Wat is groter of ?

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?