Spring naar de primaire inhoud

Spring naar de secundaire inhoud

Wiskunde is leuk

Zoeken

Hoofdmenu

Artikels
Weetjes
Problem Solving
Olympiades
Theorie
Geschiedenis
Raadsels/spelen
Kleine nootjes
Python
WisKunst
Sangaku’s
Contact
Ik en mijn onderzoek
Wereldgeschiedenis
Wandelingen

Tag archieven: limiet

Opgave 4

Geplaatst op 24 mei 2017 door admin

Onderzoek de convergentie van volgende rij

$u_n=\frac{1}{e}\int_0^1 x^n.e^x \ dx$

Antwoord

De integraal doet ons ongetwijfeld denken aan partiële integratie en het opstellen van een recursieformule.
$\int x^n.e^x\ dx = x^n.e^x-n.\int x^{n-1}.e^x\ dx$ , zodat $u_n=1-n.u_{n-1}$ .
Hoe kunnen we hiervan de limiet bepalen? Misschien toch iets anders proberen…
Op $[0,1]$ geldt dat $1\leq e^x \leq e$ omdat $f(x)=e^x$ een stijgende functie is.
Maar dan is $\int_0^1 x^n \ dx \leq \int_0^1 x^n.e^x \ dx \leq e.\int_0^1 x^n \ dx$ .
Hieruit volgt dat $\frac{1}{n+1} \leq \int_0^1 x^n.e^x \ dx \leq \frac{e}{n+1}$ .
Dit geeft voor de rij $u_n$ dat $\frac{1}{e(n+1)} \leq u_n \leq \frac{1}{n+1}$ .
Uit de insluiting stelling volgt dan dat de rij $u_n$ convergeert naar 0.

Geplaatst in Opgaven | Getagged integraal, limiet

Zoeken

Recente berichten

Opgave 42
Nootje 55
De spiraal van Theodorus
Bewijzen met verhaaltjes
Gulden snede meets Fibonacci

Archieven

Ondersteund door WordPress