Paardenrondgang

Geplaatst op 31 januari 2023 door admin

Een paardenrondgang is een route bestaande uit paardensprongen op een schaakbord zodat elk veld van het schaakbord juist 1 keer wordt aangedaan.

De oude Arabieren konden dit al: Al-Adli, uit een manuscript uit het jaar 840

Een andere vastgelegde paardenrondgang is een oplossing uit 1733 van de Franse wiskundige Lemoivre. Speciaal was de oplossing van Euler . Hij
presenteert een opgevuld schaakbord met een rondgang waarvan de op volgorde genummerde sprongen op het bord ook een (half)magisch vierkant voorstellen met de magische som 260 (de som op de diagonalen klopt niet)

Deze rondgang was niet gesloten, met andere woorden eind en beginpunt vallen niet samen. Dat dit wel kon , liet in 1849 een Hongaar, Wenzelides zien:

Er zijn wel honderdzes biljoen verschillende gesloten paardronden. In augustus 2003 werd bekend dat de Fransman Meyrignac een 156 jaar oud wiskundig probleem had opgelost; dat van de ‘volledig magische paardronde’. Een door hem afgerichte supercomputer kwam er na 61 dagen rekenen achter dat die paardronde niet bestaat.

Nootje 31

Geplaatst op 26 december 2022 door admin

Gegeven is $A=\begin{pmatrix} \cos x&-\sin x\\ \sin x &\cos x \end{pmatrix}$ . Bereken $A^{-50}$ voor $x=15^{\circ}$ .

Antwoord

Het zal zeker niet de bedoeling zijn om deze macht uit te rekenen.
Matrix A is eigenlijk de matrix voorstelling van het complex getal
$\cos x + i \sin x$
Gebruik van de formule van Lemoivre geeft
$A^{-50}=\begin{pmatrix} \cos -50x&-\sin -50x\\ \sin -50x &\cos -50x \end{pmatrix}$
Nu is $-50x=-750^{\circ}$ . We mogen altijd een veelvoud van $360^{\circ}$ bijvoegen zodat:
$A^{-50}=\begin{pmatrix} \cos -30^{\circ}&-\sin -30^{\circ}\\ \sin -30^{\circ} &\cos -30^{\circ} \end{pmatrix}$
Uitrekenen geeft
$A^{-50}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3}&1\\-1&\sqrt{3}\end{pmatrix}$

Chebyshev veeltermen

Geplaatst op 10 januari 2019 door admin

De Chebyshev-veeltermen $T_n(x)$ zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Chebyshev en zijn gedefinieerd door $\cos nx$ uit te drukken in functie van $\cos x$ :

$T_n(x)=\cos(n\arccos x)$

Zo is $T_0(x)=1$ en $T_1(x)=x$ . Omdat $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ is $T_2(x)=2x^2-1$ . We weten ook dat $\cos 3x = 4 \cos^3 x-3$ , dus is $T_3(x)=4x^3-3x$ .

Dat $T_n(x)$ een veelterm is van graad n volgt uit de formule van Lemoivre. Andere Chebyshev veeltermen:

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$
$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$ .

Het onderstaande driehoekig schema geeft een middel aan om de coëfficiënten te bepalen. Elk getal uit de driehoek bekom je door vanaf die positie alle getallen op de diagonaal naar rechtsboven bij elkaar op te tellenen hiervan dan alle getallen op de diagonaal naar linksboven af te trekken. Zo is bijvoorbeeld 18 = 5 + 1 + 0 – (-20) – 8.

Je kan deze veeltermen ook krijgen via een recursie formule:

$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$

met $T_0(x)=1$ en $T_1(x)=x$ .

Bovendien zijn de Chebyshev veeltermen ook oplossingen van volgende differentiaalvergelijking:

$(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: Lemoivre

Paardenrondgang

Nootje 31

Chebyshev veeltermen