Nootje 18

Geplaatst op 5 januari 2021 door admin

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord

Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus $A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ$ .
Hieruit volgt dat $A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x$ .
Kwadrateren geeft : $A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab)$ .
Volgens Pythagoras is $a^2+b^2= c^2$ , met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus $c=2y$ .
Verder is $ab$ gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus $ab=2A$ .
Ingevuld : $A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A)$ .
Vereenvoudigd: $A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A$ .
Hieruit kan je A oplossen:
$A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}$

Nootje 10

Geplaatst op 13 mei 2019 door admin

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van $x^4+x^3+2x^2-3x+12=0$ ?

Antwoord

Noem de wortels a,b,c en d. Ze berekenen lijkt te moeilijk.
We zoeken $S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ .
Uitrekenen geeft: $S=\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}$
Nu weten we dat het product van de oplossingen van $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ gelijk is aan s. Bijgevolg is $abcd=12$ .
De som van alle producten van 3 wortels van $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ is -r. Bijgevolg is $bcd+acd+abd+abc=3$ .
De gevraagde som $S=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .

Nootje 7

Geplaatst op 24 maart 2019 door admin

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord

We weten dat $b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1))$ .
Nu zijn zowel $P(1)$ als $P(-1)$ volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is $b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1$ .
De maximale waarde voor b is dus 1.
Neem $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1$ . Omdat $0\leq x+1\leq 2$ is $|P(x) | \leq 1$ . Bovendien is na uitwerking $P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}$ , zodat $b=1$ .

Nootje 3

Link

Er liggen 50 jetons op een rij. Op elke jeton staat een natuurlijk getal en de som van al die getallen is oneven. Joeke en Nienke nemen om beurten een jeton weg die aan één van de uiteinden van de rij ligt. Joeke mag beginnen. We tellen de getallen van de genomen jetons bij elkaar op. Bewijs dat Joeke een strategie kan bedenken waarbij zij, in het totaal, de grootste som heeft.

Antwoord

We kleuren de jetons, alternatief, van links naar rechts, blauw of zwart.
Joeke neemt een jeton. Wanneer ze terug aan de beurt is, zal er zeker een jeton beschikbaar zijn in dezelfde kleur die ze in het begin genomen heeft.
Dus kan ze er voor zorgen dat ze alle jetons van eenzelfde kleur neemt. Nienke heeft dan alle jetons van de andere kleur.
Nu kunnen ze nooit dezelfde som hebben want dan zou de som van alle jetons even zijn.
Dus ofwel neemt Joeke alle blauwe jetons ofwel alle zwarte.

Nootje 1

Geplaatst op 17 oktober 2018 door admin

Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?

Antwoord

Neem $a=2-\sqrt{2}$ en $b=2+\sqrt{2}$ . Omdat $\sqrt{2}$ een irrationaal getal is, zijn a en b allebei irrationaal.
$a+b=4$ is rationaal.
$a.b=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=4-2=2$ is ook rationaal.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: kleine nootjes

Nootje 18

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Nootje 10

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van $x^4+x^3+2x^2-3x+12=0$ ?

Nootje 7

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Nootje 3

Link

Nootje 1

Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van ?

Zoek de maximale waarde van b in , als a,b en c reële getallen zijn en voor . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van $x^4+x^3+2x^2-3x+12=0$ ?

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.