Tag archieven: kleine nootjes

Bericht navigatie

Geplaatst op 6 oktober 2022 door admin

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

Noem de veelterm P(x).
Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10).
Neem een voorbeeld als test: $P(x)=x^3+4x+8$ . Dan is $P(10)=10^3+4*10+8=1048$ . In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig.
De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat $P(1)<10^k$ . Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan $10^k$ .
De tweede evaluatie is dan $P(10^k)$ .
Testje? Neem $P(x)=12x^3+145x+88$ . dan is $P(1)=245<10^3$ . Neem $k=3$ en bereken $P(10^3)$ . Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van $k=3$ cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

Nootje 28

Geplaatst op 9 augustus 2022 door admin

Toon aan dat de som van de breuken $\frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac}$ gelijk is aan hun product.

Spoiler

Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen $\alpha,\beta ,\gamma$ met $-\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2}$ zodat $a=\tan \alpha,b=\tan \beta$ en $c=\tan \gamma$ .
We moeten dan bewijzen dat $\tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha)$ .
Of als $x+y+z=0$ , dat $\tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z$ .
Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door $-(x+y)$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged goniometrie, kleine nootjes, substitutie, tangens van et verschil van twee hoeken

Nootje 27

Geplaatst op 14 juli 2022 door admin

Spoiler

We zoeken de grootste waarde van een natuurlijk getal x waarvoor $\sqrt{x^2-2021}$ een natuurlijk getal is. Noem dit getal n.
Dan geldt: $x^2-2021=n^2$ of $x^2-n^2=2021$
2021 heeft 4 delers: 1,43,47 en 2021.
Dus is $(x-n)(x+n)=1.2021$ of $(x-n)(x+n)=43.47$
Uit de eerste gelijkheid volgt dat $x-n=1$ en $x+n=2021$ . Bijgevolg is $x=1011$ en $n=1010$ .
Uit de tweede gelijkheid volgt dat $x-n=43$ en $x+n=47$ . Bijgevolg is $x=45$ en $n=2$ .
De grootst mogelijk waarde van x is dus 1011.

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, ontbinden in factoren, problem solving, wiskunde

Nootje 24

Geplaatst op 18 juli 2021 door admin

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
De driehoek ZOI heeft als basis $|ZI|=2$ en als hoogte $h=9-6=3$ . De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged ingeschreven cirkel, kleine nootjes, omgeschreven cirkel, oppervlakte driehoek, problem solving, rechthoekige driehoek

Nootje 23

Geplaatst op 15 juli 2021 door admin

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$

Antwoord

In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan $x+y\leq \frac{1}{2}$ .
In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan $x+y\geq -\frac{1}{2}$ .
In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid $y\leq \frac{1}{2}$ . Is echter x+y<0, dan verkrijgen we $x\geq -\frac{1}{2}$
In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid $x\leq \frac{1}{2}$ . Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we $y\geq - \frac{1}{2}$
Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak:
In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden