Tag archieven: kleine nootjes

Nootje 38

Geplaatst op door

Antwoord

  • Onderverdelen in driehoeken lijkt een goed idee:
  • De gelijkheid van oppervlaktes is evident: zelfde hoogte en even grote basis. 
  • De vierhoek linksboven heeft oppervlakte 20 en is dus gelijk aan 16-x+32-y.
  • Hieruit volgt x+y=28.
  • De oppervlakte van de vierhoek rechts onder, die gevraagd wordt, is gelijk aan x+y, dus de gevraagde oppervlakte is gelijk aan 28 vierkante centimeter.

 

Nootje 33

Geplaatst op door

Vind x-y als gegeven is dat x^4=y^4+24, x^2+y^2=6 en x+y=3.

Antwoord

  • Om de 2 onbekenden x en y uit te rekenen heb je eigenlijk maar 2 vergelijkingen nodig. Dan kan je ook x-y uitrekenen. Maar waarschijnlijk is dat wel niet de bedoeling.
  • Omdat x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2), vinden we uit de eerste betrekking dat 24=(x-y)*3*6;
  • Hieruit volgt dan dat x-y=\frac{4}{3}.

Nootje 29

Geplaatst op door

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

  • Noem de veelterm P(x).
  • Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10). 
  • Neem een voorbeeld als test: P(x)=x^3+4x+8 . Dan is P(10)=10^3+4*10+8=1048. In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
  • Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig. 
  • De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat P(1)<10^k. Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan 10^k.
  • De tweede evaluatie is dan P(10^k).
  • Testje? Neem P(x)=12x^3+145x+88. dan is P(1)=245<10^3. Neem k=3 en bereken P(10^3). Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van k=3 cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

 

Nootje 28

Geplaatst op door

Toon aan dat de som van de breuken \frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac} gelijk  is aan hun product.

Spoiler
  • Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
  • De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
  • Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen \alpha,\beta ,\gamma met -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2} zodat a=\tan \alpha,b=\tan \beta en c=\tan \gamma.
  • We moeten dan bewijzen dat \tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha).
  • Of als x+y+z=0, dat \tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z.
  • Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door -(x+y).