Tag archieven: kansverdelingen

Dames in een kaartspel

Geplaatst op door

Schud een spel kaarten goed. Hoeveel kaarten van de top , gemiddeld genomen, kom je de eerste dame tegen?

  • We weten dat er 4 dames in het spel zijn. 
  • Wat ook de volgorde van de kaarten mag zijn, de dames verdelen het pak kaarten in 5 groepen: de kaarten voor de eerste dame, de kaarten tussen de eerste en tweede dame, enzovoort.
  • Het aantal kaarten in elk van die groepen varieert van 0 tot en met 48.
  • Noteer met X_i het aantal kaarten in de i-de groep. Dan geldt:

        \[0 \leq X_i \leq 48\]

     

        \[X_1+X_2+X_3+X_4+X_5=48\]

  • Elke X_i is een kansvariabele en omdat het pak kaarten goed geschud is, zal de kansverdeling van elke X_i dezelfde zijn.
  • Maar dan is 48=E(48)=E(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)=5E(X_1).
  • Bijgevolg is

        \[E(X_1)=\frac{48}{5}=9,6\]

  • Het verwacht aantal kaarten voor de eerste dame is dus gelijk aan 9,6.

De negatieve binomiale verdeling

Geplaatst op door

Bij herhaalde onafhankelijke uitvoeringen van eenzelfde Bernoulli experiment (met succeskans p), kunnen we ook vragen wanneer we juist r keer succes hebben verkregen. Noteer met X de stochast die het tijdstip weergeeft van de r-de succes.

  • X heeft als waarden r,r+1,r+2,…
  • P(X = k) is de kans dat het r-de succes bereikt wordt bij de k-de beurt. Dit is de kans op r - 1 successen bij de eerste k-1 uitvoeringen vermenigvuldigd met de kans op succes bij de k-de uitvoering. Dus

        \[P(X = k)=\binom{r-1}{k-1}p^{r-1}q^{k-r}.p=\binom{r-1}{k-1}p^rq^{k-r}\]

  • Deze verdeling heet de negatieve binomiale verdeling of Pascal verdeling, met parameters r en p.
  • Voor r=1 krijgen we uiteraard de geometrische verdeling met parameter p.
  • Het gemiddelde van deze verdeling is E(X)=\frac{r}{p}.
  • De berekening van kansen i.v.m. een negatieve binomiale verdeling kan gebeuren met de tabellen van de binomiale verdeling. Noteer met Y de stochast van de binomiale verdeling met parameters k en p, dan geldt

        \[P(X=k)=\frac{r}{k}P(Y=r)\]

De geometrische verdeling

Geplaatst op door

Veronderstel dat we n onafhankelijke uitvoeringen doen van eenzelfde Bernoulli experiment met succeskans p. Bij de binomiaalverdeling stellen we ons de vraag hoeveel keer succes hebben we. Nu stellen we volgende vraag: na hoeveel uitvoeringen boeken we voor het eerst succes?  

Bijvoorbeeld: hoeveel keer moet de gokker roulette spelen om voor het eerst te winnen?

X is het tijdstip van het eerste succes. X is een stochast met waarden 1,2,…

    \[\text{P(X=k)}=q^{k-1}p\]

We zeggen dat X een geometrische verdeling heeft met parameter p. Het is inderdaad een kansverdeling want de som van alle kansen is 1.

Een voorbeeld van een geometrische verdeling met p=0,10:

Het gemiddelde van zo een geometrische verdeling is \frac{1}{p}. Een belangrijke eigenschap van de geometrische verdeling is het geheugenverlies: ze vergeet het verleden. Als we weten dat uitvoeringen 1 tot en met i mislukkingen waren, dan heeft de wachttijd vanaf die i-de mislukking tot het eerste succes, juist dezelfde verdeling als de wachttijd vanaf het begin. Met andere woorden de verdeling van die wachttijd tot het eerste succes hangt helemaal niet af van het aantal mislukkingen dat tot dan toe gebeurd is. In symbolen:

    \[P(X>i+j|X>i)=P(X>j)\]