irrationaal | Wiskunde is leuk

Pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel:

$\pi=\dfrac{\text{omtrek}}{\text{middellijn}}$

Dit leidt tot de misvatting dat pi een rationaal getal is, want het kan geschreven worden als een breuk! We vergeten hierbij dat, in een breuk, felle en noemer gehele getallen moeten zijn. Maar bij pi is hetzij de omtrek , hetzij de diameter irrationaal.

Het idee van pi als constante bestaat al lang. De Egyptenaren schatten het op $\frac{25}{8}=3,125$ en de Mesopotamiërs gaven het de waarde van $\sqrt{10}\approx 3,162$ .

Archimedes was de eerste die pi grondig onderzocht. Door veelhoeken in een cirkel te tekenen en hun omtrek te berekenen, kon hij pi schatten tussen $\frac{223}{71}$ en $\frac{22}{7}$ . sinds Archimedes is de nauwkeurigheid van pi groter geworden. Dank zij de computer kennen we nu pi tot op miljarden cijfers nauwkeurig.

Een paar schattingen door de eeuwen heen:

papyrus Rhind ( 1650 BC) : 3,16045
Archimedes (250 BC) : 3,1418
Ptolemaeus (150 AD) 3,14166
Brahmagupta (640 AD): 3,1622
Al-Khwarizmi (800 AD) : 3,1416
Fibonacci (1220 AD) : 3,141818

Het symbool $\pi$ , voor pi werd in 1706 geïntroduceerd door William Jones in zijn boek Synopsis Palmariorum Mathesis.

Pi kan ook voorgesteld worden door een reeks . De veertiende eeuws Indiase wiskundige Madhava gebruikte de volgende reeks :

$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots$

Dit convergeert eerder traag naar pi. Euler gebruikte de reeks :

$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\cdots$

De Engelse wiskunde Wallis maakte gebruik van:

$\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}*\frac{2}{3}*\frac{4}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{5}\cdots$

Toon aan dat $\sqrt[n]{7}$ irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Antwoord

$\sqrt[n]{7}$ is een oplossing van de vergelijking $x^n-7=0$ .
Als $\frac{p}{q}$ een rationale oplossing zou zijn van deze vergelijking moet p een deler zijn van 7 en q een deler van de coëfficiënt van $x^n$ , dus 1.
De enige mogelijkheden zijn $\pm1,\pm 7$ en geen van deze 4 is een goede oplossing.
Er zijn dus geen rationale oplossingen bijgevolg is $\sqrt[n]{7}$ steeds irrationaal.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: irrationaal

Een korte geschiedenis van pi

Uitdaging 1 en 2

Wat is de som der coëfficiënten van $(3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}$ .

Toon aan dat $\sqrt[n]{7}$ irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Wat is de som der coëfficiënten van .

Toon aan dat irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Wat is de som der coëfficiënten van $(3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}$ .

Toon aan dat $\sqrt[n]{7}$ irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1