Tag archieven: heuristieken problem solving

Telescopische som

Geplaatst op door

Eén van de technieken bij problem-solving bestaat eruit het probleem van een andere kant te bekijken of een eenvoudiger probleem te nemen. Illustreren we dit even met volgend probleem: Vereenvoudig:

    \[\sum_{n=1}^{2020}\tan n\tan(n+1)\]

  • We gaan het product herschrijven als een som zodat bij het sommeren van al die termen ze één voor één tegen elkaar wegvallen , op de eerste en laatste na.
  • Gebruik hiervoor de formule voor het berekenen van de tangens van een verschil: \tan((n+1)-n)=\tan 1=\frac{\tan(n+1)-\tan n}{1+\tan(n+1)\tan n}.
  • Hieruit volgt dat \tan n\tan(n+1)=\frac{\tan (n+1)-\tan n }{\tan 1}-1
  • Invullen in de opgave geeft :

        \[\frac{\tan 2021-\tan 1}{\tan 1}-2020=\frac{\tan 2021}{\tan 1}-2021\]

Werk van achter naar voren

Geplaatst op door

Bij het werken van achter naar voren veronderstellen we dat de conclusie klopt en gaan we daaruit allerlei conclusies trekken tot we ergens terechtkomen bij een bekende situatie of bij iets wat we gemakkelijk kunnen bewijzen.

Een voorbeeld:

Je hebt twee emmers zonder merkstreepjes, één van 9 liter en één van 4 liter. Hoe kan je hiermee precies 6 liter water uit een waterput afmeten?

  • De eindsituatie is zes liter in de grote emmer.
  • Wat is de situatie daarvoor? 6 =9-3, dus die 6 liter kan verkregen worden door 3 liter weg te gieten uit de volle emmer van 9 liter.
  • Om 3 liter te kunnen afgieten moet er in de kleine emmer juist 1 liter aanwezig zijn.
  • Maar 1 =9-4-4: dus \’e\’en grote emmer waaruit 2 keer de inhoud van de kleine emmer is weggegoten.
  • Besluit: we vullen de grote emmer met 9 liter en gieten 2 keer 4 liter over in de kleine emmer. Dan gieten we die ene liter in de kleine emmer. We vullen nu terug de grote emmer met 9 liter en gieten water over in de kleine emmer tot die volledig vol is. Er blijft dan 6 liter water over in de grote emmer.

Formuleer een eenvoudiger probleem

Geplaatst op door

Om een probleem op te lossen verzamelen we eerst alle gegevens. We proberen ze te begrijpen en te analyseren. Maar soms kunnen we dat niet doen op een betekenisvolle manier omdat de berekeningen te ingewikkeld zijn of omdat er bijvoorbeeld geen speciale gevallen zijn die ons enig inzicht kunnen geven in het probleem. We proberen dan het probleem te herformuleren in een equivalente maar eenvoudiger vorm. Hiervoor zullen we gebruik moeten maken van onze verbeelding en creativiteit. Dikwijls gebruiken we hiervoor algebraïsche of goniometrische formules, substitutie of verandering van onbekende,…

Voorbeeld:

Vind een algemene formule voor de n-de afgeleide van

    \[f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}\]

  • f'(x)=\dfrac{2x}{(1-x^2)^2} , f''(x)=\dfrac{2+6x^2}{(1-x^2)^3}, f'''(x)=\dfrac{24x+24x^3}{(1-x^2)^4}. De uitdrukking wordt steeds ingewikkelder en we zien geen regelmaat verschijnen.
  • Misschien kunnen we de opgave eerst vereenvoudigen en dan denken we onmiddellijk aan splitsen in partieelbreuken:

        \[f(x)=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}\Big)\]

  • Het probleem is nu herleid tot het vinden van een algemene formule voor de n-de afgeleide van g(x)=\dfrac{1}{1-x} en h(x)=\dfrac{1}{1+x}.
  • g'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}, g''(x)=\dfrac{2}{(1-x)^3}, g'''(x)=\dfrac{2.3}{(1-x)^4}. Zo komen we tot de formule:

        \[g^{n}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\]

    We kunnen dit eventueel bewijzen via inductie.

  • Analoog vinden we :

        \[h^n(x)=\dfrac{(-1)^n.n!}{(1+x)^{n+1}}\]

  • We besluiten dus:

        \[f^n(x)=\dfrac{n!}{2}\Big(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1}}+\dfrac{(-1)^n}{(1+x)^{n+1}}\Big)\]

Zoek een patroon

Geplaatst op door

Soms is het erg nuttig om een verband te zoeken tussen de data in de opgave. Kan je een bepaald patroon terugvinden? Dit kan je op weg helpen om de oplossing te vinden van je probleem.

 

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm is van graad 4 waarbij de coëfficiënt van x^4 gelijk is aan 1. Bovendien is f(-1)=-1, f(2)=-4, f(-3)=-9 en f(4)=-16. Bereken f(1)

We weten dat f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d. Uit de 4 gegevens kunnen we, via het oplossen van een stelsel, de 4 onbekenden a,b,c en d vinden. Eigenlijk is dat zelfs niet nodig, want we moeten enkel f(1) berekenen. Maar gelukkig zien we een patroon  opduiken: -1,2,-3 en 4 zijn allemaal nulwaarden van de veelterm g(x)=f(x)+x^2. Omdat f(x) en dus ook g(x) van de vierde graad is, moet g(x)=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4). Bijgevolg is f(1)=g(1)-1^2=23.