heron van alexandrie | Wiskunde is leuk

Vierkantswortels zijn al eeuwenlang bekend. De Rhindpapyrus verwijst al in 1650 v.Chr. naar vierkantswortels, maar dat is niet zo vreemd, want wortels houden verband met oppervlaktes en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

$\sqrt{2}$ was nogal wat voor de Pythagoreeëers. De ontdekking dat de wortel van 2 irrationaal was, zat hen echt dwars. De idee dat een getal niet kon worden uitgedrukt als een breuk was ondenkbaar. Het was Hippasus van Metaponte die dit bewijs leverde en het verhaal gaat dat hij zijn ontdekking op zee deed, waarna hij overboord werd gegooid!Archimedes maakte een zeer nauwkeurige schatting van de wortel uit 3 :

$\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}$

of uitgedrukt in decimalen: $1,7320261<\sqrt{3}<1,7320512$ . Let op dat dit tweede getal slechts 0,0000004 afwijkt , wat erg nauwkeurig is gezien Archimedes geen rekentoestel had en niet werkte in het tientallig stelsel. Sommige bronnen beweren dat hij de Babylonische methode volgde.

Deze methode, ook Herons methode genoemd, is een fraaie iteratieve formule. Bij $\sqrt{S}$ , nemen we eerst een ruwe schatting en noemen die $x_0$ . Verder geldt:

$x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{S}{x_n}\Big)$

Op het rekentoestel vinden we voor de wortel uit 3 de waarde 1,732050808. Als eerste schatting nemen we $x_0=2$ . dan is $x_1=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=1,75$ . We hebben al twee cijfers juist. Een betere benadering is $x_2=\frac{1}{2}(1,75+\frac{3}{1,75})=1,7321$ . Nu hebben we de eerste 4 cijfers van $\sqrt{3}$ en als we willen, kunnen we hiermee doorgaan om steeds een nauwkeurigere schatting te krijgen van de wortel uit 3.