Tag archieven: heisenberg

Matrixgroepen

Geplaatst op door

Noem GL_n(F) de verzameling van alle n x n matrices over het veld F met een determinant die niet nul is. Het is duidelijk dat deze verzameling, uitgerust met de gewone matrixvermenigvuldiging, een groep is, want:

  • Omdat det( A.B)=det(A).det(B) zal GL_n(F) gesloten zijn onder de vermenigvuldiging.
  • Omdat de determinant verschillend is van nul, heeft elke matrix een inverse.
  • De determinant van de eenheidsmatrix ( neutraal element) is verschillend van nul.

Een paar opmerkingen:

  • GL_n(F) is niet-abels voor elke n\geq 2 en voor elk veld F.
  • GL_n(F) is een eindige groep als en slechts als F een eindig veld is. Eindige velden zijn er voor elke waarde van p priem en voor alle priemmachten p^m.
  • Als F een eindig aantal elementen q bezit, dan is het aantal elementen van GL_n(F) gegeven door de formule

        \[(q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{n-1})\]

  • Neem bijvoorbeeld F=\mathbb{Z}_2, dan is de orden van GL_2(\mathbb{Z}_2) gelijk aan 6. De enige niet-abelse groep van orde 6 is S_3, dus is

        \[GL_2(\mathbb{Z}_2) \cong S_3\]

Een ander ‘leuk’ voorbeeld is de Heisenberg groep H(F), vernoemd naar de Duitse natuurkundige Werner Heisenberg( 1901-1976).

H(F) bevat alle 3 x 3 bovendriehoeksmatrices van de vorm

    \[\begin{pmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Het is duidelijk dat deze matrices allen een determinant gelijk aan 1 hebben, dus is H(F) een deelgroep van GL_3(F). Neem voor F een eindig veld met q elementen , dan zien we dat de orde van H(F) gelijk is aan q^3. 

Bekijken we even de situatie als F=\mathbb{Z}_2, dan telt H(F) dus 8 elementen. Er zijn 5 elementen van orde 2, zoals bijvoorbeeld \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} en 2 elementen van orde 4, zoals bijvoorbeeld \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}. Bijgevolg is

    \[H(\mathbb{Z}_2)\cong D_4\]