Gemiddelden visueel voorgesteld

Geplaatst op 13 december 2022 door admin

Lees in dit artikel hoe je in een trapezium het rekenkundig, het meetkundig, het harmonisch en het kwadratisch gemiddelde kan terugvinden.

rekenkundig en harmonisch gemiddelde in een trapezium

Geplaatst op 24 mei 2018 door admin

De vraag die we willen behandelen in deze tekst luidt:

Her RG is vrij eenvoudig: construeer het lijnstuk door de middens van de opstaande zijden. Volgens de stelling van Thales is $|EF|=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|)$
Voor het harmonisch gemiddelde construeren we het lijnstuk, evenwijdig aan de evenwijdige zijden, door het snijpunt van de twee diagonalen van het trapezium.
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken FDE en ADB, CEG en CAB, DEC en EAB volgt dat $|FE|=|EG|$ . Construeer nu , door C, een evenwijdige aan AD. Noteer $|AB|=a,|CD|=b$ en $|FG|=x$
Nu is $|EH|=b-\frac{1}{2}x$ en $|HG|=x-b$ . De 3 concurrente rechten AC,IC en BC worden gesneden door 2 evenwijdige rechten, dus geldt volgens Thales dat $\frac{|EH|}{|AI|}=\frac{|GH|}{|BI|}$ of $\frac{b-\frac{1}{2}x}{b}=\frac{x-b}{a-b}$ . Hieruit volgt dat $x=\frac{2ab}{a+b}$ en dit betekent dat $|EF|$ het harmonisch gemiddelde is van de twee evenwijdige zijden van het trapezium.

Geplaatst op 3 april 2018 door admin

Antwoord

Geplaatst op 19 maart 2018 door admin

Neem n positieve getallen $x_1,x_2,\cdots,x_n$ . Dan definieren we:

Het rekenkundige gemiddelde: $RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ .
Het meetkundig gemiddelde: $MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}$ .
Het harmonisch gemiddelde: $HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$ .
Het r-de machtsgemiddelde: $P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}$ . Voor $r=2$ spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.