Tag archieven: geassocieerde krommen

Cissoïde van Diocles

Geplaatst op door

Gegeven zijn een kromme K_1 en K_2 en een punt O. Door O trekt men een rechte die K_1 snijdt in P_1 en K_2 in P_2. Op die rechte bepaalt men een punt P zodat |OP|=|OP_1|-|OP_2|. Wanneer men de rechte nu laat draaien rond O, is de meetkundige plaats van de punten P een cissoïde(afkomstige uit het Grieks: kimos = klimop).

De cissoïde van Diocles verkrijgt men als K_1 een rechte is die raakt in een punt A aan een cirkel (K_2). Voor O neem je het punt op de cirkel diametraal tegenover A.

 

 

Neem O als oorsprong van het assenstelsel en de rechte OA als X-as. Veronderstel dat de straal van de cirkel gelijk is aan a. De cirkel heeft als vergelijking (x-a)^2+y^2=a^2 en de raaklijn heeft als vergelijking x=2a. Een willekeurige rechte door O kunnen we voorstellen door y=\lambda x. Dan is P_1(2a,2a\lambda) en P_2(\dfrac{2a}{1+\lambda^2},\dfrac{2a\lambda}{1+\lambda^2}). Om de meetkundige plaats te vinden van de punten P, als de rechte rond O draait, moeten we \lambda elimineren  uit y=\lambda x en uit x=2a-\dfrac{2a}{1+\lambda^2}. Deze laatste voorwaarde bekomen we door de voorwaarde |OP|=|P_1P_2| te projecteren op de X-as. Als resultaat krijgen we

    \[x(x^2+y^2)=2ay^2\]

In Geogebra:

De limaçon van Pascal

Geplaatst op door

Een andere voorbeeld van een ‘meetkundige’ kromme is de Limaçon van Pascal. Neem een willekeurig punt A op een cirkel met straal r. Teken door A een rechte l die de cirkel een tweede keer snijdt in P. Construeer 2 punten op l die op een afstand a van P liggen: Q_1 en Q_2. Bepaal de meetkundige plaats van deze punten als de rechte l rond A draait.

Neem de oorsprong van het assenstelsel in het middelpunt van de gegeven cirkel en de X-as door A. De rechte l heeft als vergelijking: y=\lambda (x-r). Het andere snijpunt van l met de gegeven cirkel is P(r.\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1},-2r.\dfrac{\lambda}{\lambda^2+1}). Om de meetkundige plaats te kennen van de punten Q_1 en Q_2 moeten we \lambda elimineren uit y=\lambda (x-r) en uit de vergelijking van de cirkel met middelpunt P en straal a. Dit geeft na wat berekeningen:

    \[(x^2+y^2-r^2)^2=a^2[(x-r)^2+y^2]\]

Met Geogebra krijgen we 3 constructies:

  1. Als a<2r: 
  2. Als a=2r, dan krijgen we de cardioïde:
  3. Als a>2r: 

Deze kromme, de Limaçon van Pascal, wordt genoemd naar deFranse jurist en wiskundige Etienne Pascal ( 1588-1651), de vader van, de ons meer bekende, Blaise Pascal. Vroeger onderzoek werd reeds gedaan door Dürer. De naam werd gegeven door Gilles  de Roberval. Limaçon is het Franse woord voor ‘slak’.

Strofoïde

Geplaatst op door

Analyse is het vakgebied dat zich bezighoudt met eigenschappen van functies, zoals extreme waarden, asymptoten, krommen en de door die krommen omsloten oppervlaktes en hellingen van raaklijnen.

De ontwikkeling van de analyse wordt aan Leibniz en Newton toegeschreven, eind 17e eeuw.  René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665) zijn twee Fransen die een enorme bijdrage hebben geleverd aan het ontstaan van de analyse. Ze hebben namelijk, onafhankelijk en ongeveer gelijktijdig, de analytische meetkunde bedacht.
Beiden legden het verband tussen vergelijkingen en krommen van punten die aan die vergelijkingen voldoen, op de inmiddels bekende manier: met coördinaten. Fermat ging altijd uit van een kromme, gegeven door een vergelijking, terwijl Descartes een kromme als een meetkundig object zag, waar hij in sommige gevallen een vergelijking aan kon verbinden.

In deze context willen we graag volgende opgave bekijken:

Gegeven is een rechte l en een punt A. Door A worden rechten getrokken, die l snijden. In de figuur ziet men twee van die rechten getekend. Ze snijden l in de punten M_1
en M_2. De punten van de strofoïde ontstaan nu op de volgende wijze: Pas op AM_i en zijn verlengde de stukken M_iP_1 en M_iP_2  af beide gelijk aan M_iO .  De strofoïde is de meetkundige plaats van alle punten P_i die zo geconstrueerd kunnen worden. Met GeoGebra geeft dit :

Om de vergelijking te vinden van deze meetkundige plaats nemen we als X-as de rechte OA en als Y-as de rechte l. Het punt A is gegeven door A(a,0) . Een willekeurige rechte door A heeft als vergelijking y=\lambda(x-a). Het snijpunt M heeft dan coördinaten M(0,-\lambda a). Uitdrukken dat |MO| = |MP| doen we door te eisen dat x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2.

De meetkundige plaats van alle punten P vinden we door \lambda te elimineren uit y=\lambda(x-a) en x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2. Dit geeft:

    \[y^2=\dfrac{x^2(a-x)}{a+x}\]

.

Deze kubische kromme noemt men de strofoïde. We zien ze een eerste keer verschijnen in het werk van Evangelista Torricelli in 1645. In de naam strofoïde herkennen we het griekse ‘strofos’, wat ‘gedraaide band’ betekent. De uitgang ‘oïde’ betekent ‘met de vorm van’. Met andere woorden een strofoïde is een figuur met de vorm van een gedraaide band.