Tag archieven: Gaston Julia

Julia fractaal

Geplaatst op door

Neem de functie f(x)=x^2+c en neem een willekeurige startwaarde x_1. Bereken de functiewaarde van x_0 en noem die x_1. Bereken vervolgens de functiewaarde van x_1 en noem die x_2. We verkrijgen zo een rij getallen

    \[x_{n+1}=f(x_n)\]

Gaston Julia ( 1893-1978) publiceerde in 1919 zijn boek Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles waarin hij het iteratief gedrag van deze functie(s) onderzocht.

We bestuderen nu

de relatie z_{n+1}=f(z_n) in het complexe vlak. Als de rij z_0,z_1,z_2,... begrensd is, dan gaan we de startwaarde z_0 plotten. De verzameling punten in het complexe vlak waarvoor de rij begrensd is noemen we de Julia verzameling horend bij c.

Er zijn op basis hiervan twee verzamelingen te construeren: de verzameling van de punten z0 waarvoor het iteratieve proces begrensd is (de Julia-set bij C) en  de verzameling van de punten z0 waarvoor de verzameling niet-begrensd is. De rand van het “begrensdheidsgebied” wordt een “fractaal” genoemd, de Julia-fractaal bij c.

Dit levert zeer mooie figuren :

Of de san Marco fractaal en het dendriet…