Tag archieven: fermat

De kleine stelling van Fermat

Geplaatst op door

Als p een priemgetal is en a en p onderling ondeelbaar zijn dan geldt:

    \[a^{p-1} \equiv 1 \text{ mod } p\]

Uit deze stelling, die de kleine stelling van Fermat genoemd wordt en in 1640 een eerste keer vermeld werd, volgt dat voor elke a en voor een priemgetal p geldt dat

    \[a^p \equiv a \text { mod } p\]

De stelling wordt bijvoorbeeld gebruikt om de restklasse modulo een groot getal uit te rekenen. Bereken bijvoorbeeld de rest bij deling van 2^{245} door 11. Volgens de kleine stelling van Fermat is 2^{10} \equiv 1 \text{ mod } 11, dus is 2^{245} \equiv (2^{10})^24.2^5 \equiv 2^5 \equiv 10 \text{ mod } 11.

Er bestaat een veralgemening voor de stelling, die zegt dat als a en m onderling ondeelbaar zijn, geldt

    \[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \text { mod }m\]

Hierbij is \varphi(m) de totiënt functie van Euler die het aantal getallen, kleiner dan m, berekent die onderling ondeelbaar zijn met m. Deze stelling wordt de Euler-Fermat stelling genoemd.

Oneindige afdaling

Geplaatst op door

Een bewijs door  oneindige afdaling  is een manier van bewijzen die kan worden toegepast bij aftelbare welgeordende verzamelingen, meestal de natuurlijke getallen. Men bewijst het niet bestaan van een element uit een verzameling met een bepaalde eigenschap, door aan te tonen dat als er zo een element zou bestaan, er ook een kleiner element moet bestaan met die eigenschap. Zo ontstaat een oneindige keten van elementen kleiner dan het veronderstelde element, terwijl er maar eindig veel van dergelijke elementen zijn. Fermat was één van de eersten die deze methode veelvuldig gebruikte.

Een voorbeeld:

Vind alle oplossingen in positieve gehele getallen van x^2+y^2=3(z^2+w^2)

Bewijs:

Stel (x,y,z,w) een oplossing van de gegeven vergelijking waarbij x minimaal is. Omdat 3 een deler is van het rechterlid , moet 3 ook een deler zijn van x^2+y^2. Omdat kwadraten 0 of 1 modulo 3 zijn, kan x^2+y^2 alleen maar deelbaar zijn door 3 als x en y zelf deelbaar zijn door 3. Dus x=3x' en y=3y'. Ingevuld geeft dit 3(x'^2+y'^2)=z^2+w^2. Analoog vinden we dat z=3z' en w=3w', waardoor x'^2+y'^2=3(z'^2+w'^2). Dus is (x',y',z',w') ook een oplossing van de gegeven vergelijking met x'<x. Dit levert een tegenspraak en dus heeft de vergelijking geen oplossingen in de verzameling van de positieve gehele getallen.

Fermatgetallen

Geplaatst op door

In 1729 schreef Christian Goldbach aan Euler: Kent u de opmerking in het werk van Fermat dat alle getallen F_n=2^{2^n}+1 priemgetallen zijn? Hij schrijft dat hij het niet kan bewijzen, en voor zover ik weet heeft ook niemand anders een bewijs kunnen vinden.

Fermat had al opgemerkt dat de getallen F_n priemgetallen zijn voor n=0,1,2,3,4: F_0=3,F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537, vandaar zijn vermoeden. Maar F_5=4294967297 ging zijn krachten te boven. De getallen F_n=2^{2^n}+1 noemt men Fermatgetallen.  Euler liet zich echter niet afschrikken en hij kwam tot het verrassende resultaat dat F_5 geen priemgetal is omdat het deelbaar is door 641. Het vermoeden van Fermat bleek dus niet waar te zijn – een van de zeldzame keren dat Fermat een vermoeden uitsprak dat onjuist is gebleken.

fer

Waar komt trouwens de vreemde vorm  2^{2^n}+1 vandaan?
Waarom niet gewoon 2^m+1? Wel, het is eenvoudig te bewijzen dat 2^m+1 alleen maar een priemgetal kan zijn als m van de vorm m=2^n is. Dit komt omdat, als q oneven is en groter dan 1, dan is a^q+1=(a+1)(a^{q-1}-a^{q-2}+\cdots -a+1). Op die manier kan men bewijzen dat m geen oneven deler kan hebben.

Hoe zit het met F_6=18446744073709551617? Daar lijkt zonder computer geen beginnen aan. Toch lukte het Landry en Le Lasseur in 1880 een volledige ontbinding te vinden. Ook van F_7, een getal van 39 cijfers, F_8 (78 cijfers), F_9 (155 cijfers) en F_{11} ( 617 cijfers) zijn inmiddels volledige ontbindingen gevonden. Geen van alle zijn het dus priemgetallen. Ook F_{10} is geen priemgetal, maar daarvan is alleen maar bekend dat het deelbaar is door 455925777 en 6487031809. Van de resterende factor kennen we de ontbinding niet.

Van nog veel meer Fermatgetallen is bewezen dat ze geen priemgetallen zijn. In feite is er nog steeds geen enkele grotere priem dan F_4 bekend. Bestaat er dus wel een zesde Fermat priemgetal? Het kleinste Fermat getal waarvan we niet weten of het priem is, is F_{22}, een getal van 1262612 cijfers. Verder onderzoek ligt nog open…