Tag archieven: faculteit

Faculteitsconform getal

Geplaatst op door

Een faculteitsconform getal  is een natuurlijk getal dat de som is van de faculteiten van zijn cijfers. Alhoewel 1=1! en 2=2!, noemen we 1 en 2 geen facultietsconforme getallen, omdat er niet sprake is van een som.

Wel een goed voorbeeld is

    \[145=1!+4!+5!\]

We kunnen de gebruikelijke onderzoeksvragen stellen: hoeveel van dergelijke getallen bestaan er? Eindig veel of oneindig? kan je ze genereren met een formule?

Wat we zeker kunnen vaststellen is dat ze maximaal uit 7 cijfers bestaan, want stel n een faculteitsconform getal met n cijfers, dan is

    \[10^{n-1}\leq N\leq n.9!\]

vanaf n=8 klopt die formule niet meer, omdat 10 000 000 \geq 8.9!=2 903 040.

Er blijkt nog slechts 1 ander  faculteitsconform getal te bestaan, namelijk 40585. Dit getal werd in 1964 via computerberekeningen gevonden door Leigh Janes en Ron S. Dougherty.

In de Nederlandse wiskundeliteratuur wordt een faculteitconform getal ook wel geldermangetal genoemd, naar de Nederlandse wiskundige en informaticus Henk-Jan Gelderman.

Derangement

Geplaatst op door

Een derangement is een permutatie zonder vaste punten, met andere woorden een ordening waar geen enkel element op de juiste plaats staat.  Het aantal derangements van n verschillende elementen wordt aangeduid met !n : subfaculteit. Het probleem van het tellen van het aantal derangementen werd in 1708 voor het eerst beschouwd door Pierre Raymond de Montmort, die het probleem oploste in 1713, ongeveeer tegelijkertijd met Nicolaas Bernoulli.

Voor 3 elementen zijn er 3! = 6 permutaties. De ordeningen  312 en 231 zijn derangements. Het zijn de enige, dus !3=2. Voor 4 elementen is, het al wat moeilijker:

Hierboven zie je de 24 permutaties van de 4 elementen {1,2,3,4}. De blauwe zijn de derangements, dus !4=9. Je kan nagaan dat !5=44, !6= 265 en !7=1854. Er zijn echter ook formules beschikbaar om de subfaculteiten uit te rekenen:

    \[\text{!n}=(n-1)[!(n-1)+!(n-2)]\]

    \[\text{!n}=n!\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{i!}\]

 

Uit deze laatste formule kan je de verhouding tussen !n en n! afleiden:

    \[\dfrac{!n}{n!}=\dfrac{1}{e} \approx 0,368\]