Soms kan het probleem verdeeld worden in een aantal deelproblemen , die elk afzonderlijk kunnen behandeld worden. Dit gebeurt dikwijls als het probleem de al-kwantor bevat: voor alle x … Deze methode wordt ook wel het uitputtingsprincipe genoemd of de exhaustie methode.

Gegeven is een functie $f:\mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{R}$ met

$\forall x,y \in \mathbb{Q}: f(x+y)=f(x)+f(y)$

Bewijs dat $\forall x\in \mathbb{Q}: f(x)=f(1).x$ .

We gaan het resultaat eerst bewijzen voor de positieve gehele getallen. De eigenschap klopt voor x = 1.
Voor x = 2 hebben we $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2.f(1)$ .
Voor x = 3 is $f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2.f(1)+f(1)=3.f(1)$ .
Het is duidelijk dat we dit proces kunnen verderzetten en dat voor elk positief geheel getal n geldt dat $f(n)=n.f(1)$
Nu controleren we de formule voor niet positieve gehelen. Eerst is er $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ . Hieruit volgt dat $f(0)=0=0.f(1)$ . Neem nu het negatief getal m, dan is er een positief geheel getal n met $m=-n$ . Bijgevolg is $0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n)$ .
Hieruit volgt dat $f(m)= f(-n)=-f(n)=-n.f(1)=m.f(1)$ , waarmee het gestelde bewezen is.
Nu komen de omgekeerden van de gehele getallen (verschillend van 0) aan de beurt. Stel $m=\dfrac{1}{n}$ , dan geldt:
$f(1)=f(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n})=n.f(\dfrac{1}{n})$ .
Hieruit volgt dat $f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n}.f(1)$ of $f(m)=m.f(1)$ .
Tenslotte nemen we de rationale getallen onder de loep: $x=\dfrac{m}{n}$ .
Nu is $f(\dfrac{m}{n})=f(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n})=m.f(\dfrac{1}{n})$ .
Dus is $f(\dfrac{m}{n})=m.f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{m}{n}.f(1)$ .
Bijgevolg geldt voor elk rationaal getal $x=\dfrac{m}{n}$ dat $f(x)=x.f(1)$ .