Neem een willekeurige convexe zeshoek. Met telkens drie opeenvolgende hoekpunten van deze zeshoek vormt men zes driehoeken. Construeer het zwaartepunt van deze driehoeken. De alzo verkregen punten zijn de hoekpunten van een nieuwe zeshoek. Toon aan dat de paren overstaande zijden van deze zeshoek evenwijdig en even lang zijn.

We geven de hoekpunten $A_i$ van de oorspronkelijke zeshoek willekeurige coördinaten $(3x_i,3y_i)$ ( drievouden omdat we het zwaartepunt moeten berekenen). Het zwaartepunt van driehoek $A_1A_2A_3$ is het punt $Z_1(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)$ . Analoge coördinaten voor de andere hoekpunten. We proberen nu aan te tonen dat $Z_1Z_6$ evenwijdig is met $Z_3Z_4$ en dat $|Z_1Z_6|=|Z_3Z_4|$ .

De richtingsgetallen van $Z_1Z_6$ zijn $(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)-(x_6+x_1+x_2,y_6+y_1+y_2)=(x_3-x_6,y_3-y_6)$ De richtingsgetallen van $Z_3Z_4$ zijn $(x_3+x_4+x_5,y_3+y_4+y_5)-(x_4+x_5+x_6,y_4+y_5+y_6)=(x_3-x_6,y_3-y_6)$ Bijgevolg is $Z_1Z_6$ evenwijdig met $Z_3Z_4$ .
$|Z_1Z_6|=\sqrt{(x_3-x_6)^2+(y_3-y_6)^2}=|Z_3Z_4|$ .

Neem een punt $P_1$ op de zijde [BC] van een driehoek ABC. Trek een evenwijdige met AC en noem het snijpunt met [AB] het punt $P_2$ . Trek van daaruit een evenwijdige met BC en noem het snijpunt met [AC`] het punt $P_3$ . Als je zo verder gaat komt je uiteindelijk terug in het punt $P_1$ . Dit resultaat staat bekend als de sluitingsstelling van Thomsen.

Kies een doorloop zin voor de driehoek zodat een punt de zijde verdeelt in een ‘eerste ‘ en een ’tweede ‘ deel. $P_1$ verdeelt [BC] in twee stukken met verhouding $1:k$ . Door de evenwijdigheid zal $P_2$ dan de zijde [AB] verdelen in 2 stukken met verhouding $k:1$

De verhouding keert dus om telkens we een andere zijde bereiken. Bij elke 3 stappen zitten we terug op het lijnstuk [BC].. Na 6 stappen komen we dus terug op [BC] en nu is de verhouding van de stukken dezelfde als in het begin. Dus $P_7$ zal samenvallen met $P_1$ .

Dit resultaat danken we aan Gerhard Thomsen , een Duitse wiskundige die leefde van 23/6/1899 tot 4/1/1934.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: evenwijdigheid

Een nieuwe zeshoek

De sluitingsstelling van Thomsen