Wiskunde is leuk

Uitdaging 3 en 4

Geplaatst op 12 augustus 2019 door admin

Voor welke waarden van k is $x^3+y^3+z^3+kxyz$ deelbaar door $x+y+z$ ?

Antwoord

Als $x^3+y^3+z^3+kxys$ deelbaar is door $x+y+z$ , dan bestaat er een $Q(x,y,z)$ zodat
$x^3+y^3+z^3+kxyz=(x+y+z)Q(x,y,z)$
Vervang nu in beide leden x door 2, en y en z door -1, dan vind je $8-1-1+2k=0$ of m.a.w. $k=-3$ .

Een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten heeft oneven getalwaarden voor 0 en 1. Bewijs dat f(x) geen gehele nulwaarden kan hebben.

Antwoord

Noteer de veelterm $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ .
Omdat f(0) oneven is moet $a_0$ een oneven getal zijn.
Omdat f(1) even is moet $a_n+\cdots+a_1+a_0$ ook oneven zijn.
Stel nu dat c een gehele nulwaarde is van f(x), dan is $a_nc^n+\cdots+a_1c+a_0=0$ .
Als c even is dan is het linkerlid van deze ongelijkheid oneven en kan dus nooit nul zijn.
Als c oneven is, dan krijgen we modulo 2 dat $a_n+\cdots+a_1+a_0 \equiv 0$ . Maar ook dat is onmogelijk want het linkerlid is oneven en kan dus nooit nul zijn.
Dus heeft f(x) geen gehele nulwaarden.