entier functie | Wiskunde is leuk

Het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan het reële getal x heet de entier ( frans voor ‘ geheel’) van x. Notatie: $\lfloor x\rfloor$ . Deze notatie werd voor het eerst gebruikt door C.F.Gauss in 1808. Soms wordt ook de notatie $G(x)$ gebruikt.

Zo is $\lfloor 7,43 \rfloor = 7$ , $\lfloor -\pi \rfloor =-4$ en $\lfloor 2017 \rfloor =2017$ .

Een paar eigenschappen:

$\lfloor x \rfloor = \text{ max } \{ m \in \mathbb{Z} : m \leq x \}$ .
$\lfloor x \rfloor = m \Leftrightarrow x-1 < m \leq x \Leftrightarrow m \leq x <m+1$ .
Voor elk natuurlijk getal $n$ geldt : $\lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n$ .
$\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1$ .
Voor $m \in \mathbb{N}$ en $n \in \mathbb{Z}$ geldt: $n= \lfloor \frac{n}{m} \rfloor+\lfloor \frac{n+1}{m} \rfloor+\cdots +\lfloor \frac{n+m-1}{m} \rfloor$ .
Voor $m \in \mathbb{N}$ geldt: $\lfloor mx \rfloor=\lfloor x \rfloor+\lfloor x +\frac{1}{m}\rfloor+\cdots+\lfloor x+\frac{m-1}{m} \rfloor$ .

Soms definieert men ook volgende functies:

Het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan $x$ als $\lceil x \rceil$ .
Het breukdeel van $x$ als $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ . Het breukdeel wordt dikwijls bekeken als het deel na de komma, maar dat is slechts correct voor positieve getallen.

Kan je bij een gegeven datum de juiste dag bepalen?

Sedert 15 oktober 1582 maken wij gebruik van de Gregoriaans kalender. De formule die we zullen geven werkt dus enkel voor gebeurtenissen vanaf die datum tot 31 december 2399, wanneer de kalender weer een aanpassing nodig heeft.

In de formule stel $d$ de datumdag voor en $m$ het maandnummer. Voor het bepalen van het maandnummer maken we wel gebruik van de oude Juliaanse kalender die aan maar het nummer 1 gaf, april het nummer 2, enz. Het jaartal wordt opgesplitst in $a$ : de eerste twee cijfers van het jaartal en $b$ de laatste twee cijfers van het jaartal. Het resultaat is $D$ de gevraagde dag, waarbij 0 staat voor de zondag, 1 voor de maandag,…

$D\equiv d+\lfloor 2,6m-0,2\rfloor+\lfloor 0,25a\rfloor -2a+\lfloor0,25b\rfloor+b$ mod 7

Hierbij staat $\lfloor x \rfloor$ voor het grootste geheel getal kleiner of gelijk aan x.

Welke dag was 1 januari 2000?

Omdat , volgens de Juliaanse kalender het jaar 2000 start op 1 maart, moeten we hier het jaartal 1999 nemen. Dus $d=1$ , $m=11$ , $a=19$ , $b=99$ , Dus $D \equiv 1+\lfloor 2,4\rfloor+ \lfloor 4,75 \rfloor-38 +\lfloor 24,75 \rfloor +99 \equiv 118 \equiv 6$ mod 7 . Bijgevolg viel 1 januari 2000 op een zaterdag.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: entier functie

De entier-functie

Op welke dag viel 1 januari 2000