Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Antwoord

De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor $\tan(a-b)$ .
Bovendien volgt uit $1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})}$ dat $\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1$ .
Verdeel nu het interval $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ in 8 gelijke stukken.
Noteer de 9 gegeven getallen door $a_i$ met $i=1,2,\cdots,9$ . Stel vervolgens $x_i=\text{ bgtan }(a_i)$ .
Er zijn 9 getallen $x_i$ voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen $x_i$ en $x_j$ met $x_j>x_i$ in hetzelfde interval liggen.
Dan geldt $0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}$ .
Omdat de tangensfunctie stijgend is op $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ , volgt hieruit dat $0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1$ .

Als je 5 ballen moet verdelen over 4 dozen, dan zal er een doos zijn met minstens 2 ballen. Immers de eerste 4 ballen kan je nog over de 4 dozen verdelen, maar voor het 5 de balletje is er geen doos meer over. Algemeen: verdeel je meer dan n objecten over n laden, dan bevat minstens één lade minstens 2 van die objecten. Dit eenvoudig principe werd voor het eerst expliciet gebruikt door Dirichlet (1805 – 1859) en wordt daarom ook het ladenprincipe of duivenhokprincipe van Dirichlet genoemd. Het principe kan in een nog algemenere vorm gegoten worden: Als je $kq+r$ ( met $q,r \in \mathbb{N}$ en $1<r<k$ ) objecten verdeelt over $k$ laden, dan is er minstens \’e\’en lade met minstens $q$ objecten.

Een voorbeeld:

Neem willekeurig $n+1$ getallen uit de verzameling $\{1,2,\cdots,2n \}$ . Bewijs dat er in die $n+1$ getallen steeds een getal bestaat dat deelbaar is door een ander van die $n+1$ getallen.

Neem $n+1$ getallen en noteer die door $a_1,a_2,\cdots,a_{n+1}$ en schrijf ze in de vorm $a_i=2^k.b_i$ waarin $b_i$ oneven is.
We hebben $n+1$ oneven getallen $b_i$ , allen uit het interval $\left[1,2n-1\right]$ .
In het interval $\left[1,2n-1\right]$ zijn er maar $n$ oneven getallen.
Volgens het duivenhokprincipe moeten er dus een $p$ en een $q$ bestaan zodat $b_p=b_q$ . Dan is één van de getallen $a_p$ of $a_q$ deelbaar door het andere.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: duivenhokprincipe

Opgave 24

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Het duivenhokprincipe

Neem willekeurig $n+1$ getallen uit de verzameling $\{1,2,\cdots,2n \}$ . Bewijs dat er in die $n+1$ getallen steeds een getal bestaat dat deelbaar is door een ander van die $n+1$ getallen.

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

Neem willekeurig getallen uit de verzameling . Bewijs dat er in die getallen steeds een getal bestaat dat deelbaar is door een ander van die getallen.

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Neem willekeurig $n+1$ getallen uit de verzameling $\{1,2,\cdots,2n \}$ . Bewijs dat er in die $n+1$ getallen steeds een getal bestaat dat deelbaar is door een ander van die $n+1$ getallen.