Tag archieven: discrete kansverdeling

De negatieve binomiale verdeling

Geplaatst op door

Bij herhaalde onafhankelijke uitvoeringen van eenzelfde Bernoulli experiment (met succeskans p), kunnen we ook vragen wanneer we juist r keer succes hebben verkregen. Noteer met X de stochast die het tijdstip weergeeft van de r-de succes.

  • X heeft als waarden r,r+1,r+2,…
  • P(X = k) is de kans dat het r-de succes bereikt wordt bij de k-de beurt. Dit is de kans op r - 1 successen bij de eerste k-1 uitvoeringen vermenigvuldigd met de kans op succes bij de k-de uitvoering. Dus

        \[P(X = k)=\binom{r-1}{k-1}p^{r-1}q^{k-r}.p=\binom{r-1}{k-1}p^rq^{k-r}\]

  • Deze verdeling heet de negatieve binomiale verdeling of Pascal verdeling, met parameters r en p.
  • Voor r=1 krijgen we uiteraard de geometrische verdeling met parameter p.
  • Het gemiddelde van deze verdeling is E(X)=\frac{r}{p}.
  • De berekening van kansen i.v.m. een negatieve binomiale verdeling kan gebeuren met de tabellen van de binomiale verdeling. Noteer met Y de stochast van de binomiale verdeling met parameters k en p, dan geldt

        \[P(X=k)=\frac{r}{k}P(Y=r)\]