Tag archieven: differentiequotiënt

Differentiequotiënten bij veeltermen en afgeleide formules

Geplaatst op door

Veronderstel dat P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0. Definieer het differentiequotiënt  van P(x), behorende bij toename h_1,  als:

    \[\Delta_{h_1}P(x)=\dfrac{P(x+h_1)-P(x)}{h_1}\]

\Delta_{h_1}P(x) is een veelterm van de n-1 ste graad , met a_n.n als coëfficiënt van de hoogtse macht van x.

We kunnen op zijn beurt ook het differentiequotiënt van \Delta_{h_1}P(x) berekenen, bij een toename h_2. We noteren \Delta_{h_2}(\Delta_{h_1}P(x)) als \Delta_{h_2h_1}P(x). Ook dit is een veelterm, nu van graad n-2 en met a_n.n(n-1) als coëfficiënt van de hoogste macht van x. Bij elke differentiequotiënt verlaagt de graad met 1. Als we n differentiequotiënten na elkaar uitvoeren, vinden we dus een constante, en die blijkt onafhankelijk te zijn van de n toenames h_i. We krijgen :

    \[\Delta_{h_n \cdots h_1}P(x)=a_n.n!\]

Kies h_1=h_2=\cdots=h_n=1 en schrijf \Delta^i in plaats van \Delta_{11\cdots1}, dan volgt:

\begin{array}{l} \Delta^1P(x)=P(x+1)-P(x)\\ \Delta^2P(x)=P(x+2)-2P(x+1)+P(x)\\ \Delta^3P(x)=P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)\end{array}

We besluiten hieruit:

    \[a_n.n!=\Delta^nP(x)= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x+n-k)\]

We kunnen bovenstaande formule nog vereenvoudigen door x+n in plaats van x als variabele te nemen. Dit mag omdat de substitutie x \leftrightarrow x+n in P(x) een veelterm geeft met dezelfde kopcoëfficiënt.

    \[a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x-k)\]

Als we k vervangen door n-k, dan wordt, volgens dezelfde opmerking als hierboven, deze formule:

    \[a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}P(x+k)\]

Opmerkingen:

  • Neem P(x)=x^n, dan wordt bovenstaande formule: \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^n=n!
  • We controleren voor n=2. Het linkerlid wordt x^2-2(x-1)^2+(x-2)^2=x^2-2(x^2-2x+1)+(x^2-4x+4)=2=2!
  • Omdat in vorig punt het rechterlid een constante is, kan je in het linkerlid x vervangen door om het even welke uitdrukking, bijvoorbeeld :\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(2^{n+1}-n-k-1)^n=n!