Spring naar de primaire inhoud

Spring naar de secundaire inhoud

Wiskunde is leuk

Zoeken

Hoofdmenu

Artikels
Weetjes
Problem Solving
Olympiades
Theorie
Geschiedenis
Raadsels/spelen
Kleine nootjes
Python
WisKunst
Sangaku’s
Contact
Ik en mijn onderzoek
Wereldgeschiedenis
Wandelingen

Tag archieven: deelbaarheid bij veeltermen

Opgave 5

Geplaatst op 3 augustus 2017 door admin

Voor welke waarde van $m \in \mathbb{N}_0$ is $x^{3m}+x^{2m}+x^m+1$ deelbaar door $x^3+x^2+x+1$ ?

Antwoord

Een veelterm A is deelbaar door een veelterm B als alle nulwaarden van B ook nulwaarden zijn van A.
Nu is $B=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$ , dus de nulwaarden van B zijn : $-1,i,-i$ .
Omdat $A=x^{3m}+x^{2m}+x^m+1$ enkel gehele coëfficiënten heeft kunnen we de stelling van d’Alembert gebruiken die zegt dat als $a+bi$ een nulwaarde is, dan is $a-bi$ dat ook.
We moeten dus enkel eisen dat $-1$ en $i$ nulwaarden zijn van A.
Dan moet $(-1)^{3m}+(-1)^{2m}+(-1)^m+1=0$ of $(-1)^m+1+(-1) ^m+1=2+2(-1) ^m=0$ . Hieruit volgt dat $m$ oneven moet zijn.
Verder moet ook $i^{3m}+i^{2m}+i^m+1=0$ . Dus moet $(-i)^m+(-1) ^m+i^m+1=0$ . Als $m=4k$ dan is $A(i) \neq 0$ . In alle andere gevallen is $A(i)$ wel gelijk aan $0$ .
De twee voorwaarden samen geven dat m gewoon oneven moet zijn.
Dus is $x^{3m}+x^{2m}+x^m+1$ deelbaar door $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1$ als $m$ oneven is.

Geplaatst in Opgaven | Getagged d'Alembert, deelbaarheid bij veeltermen, ngen, oefeni, problem solving

Zoeken

Recente berichten

Opgave 42
Nootje 55
De spiraal van Theodorus
Bewijzen met verhaaltjes
Gulden snede meets Fibonacci

Archieven

Ondersteund door WordPress