Tag archieven: contradictie

Contradictie

Geplaatst op door

Redeneren door  tegenspraak gaat uit van de veronderstelling dat de conclusie niet juist is en probeert door argumenteren te komen tot iets wat in tegenspraak is met gegeven is (de indirecte methode) of iets wat in tegenspraak is met iets waarvan we weten dat het waar is (reductio ad absurdum).

Bewijs dat de onderstaande reeks divergeert 

    \[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\]

  •  We veronderstellen dat de reeks niet divergeert maar dus convergeert naar de waarde r.
  •  Dus r=(1+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+ \frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+ \frac{1}{6})+\cdots.
  •  De eerste term van elk groepje van twee termen is groter dan de tweede, dus kunnen we schrijven dat

        \[r> (\frac{1}{2}+ \frac{1}{2})+ (\frac{1}{4}+ \frac{1}{4})+ (\frac{1}{6}+ \frac{1}{6})+\cdots = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\cdots=r\]

    .

  • Dus is r>r en dat is onmogelijk. Bijgevolg is de harmonische reeks niet convergent, maar wel divergent.