Wiskunde is leuk

Nootje 31

Geplaatst op 26 december 2022 door admin

Gegeven is $A=\begin{pmatrix} \cos x&-\sin x\\ \sin x &\cos x \end{pmatrix}$ . Bereken $A^{-50}$ voor $x=15^{\circ}$ .

Antwoord

Het zal zeker niet de bedoeling zijn om deze macht uit te rekenen.
Matrix A is eigenlijk de matrix voorstelling van het complex getal
$\cos x + i \sin x$
Gebruik van de formule van Lemoivre geeft
$A^{-50}=\begin{pmatrix} \cos -50x&-\sin -50x\\ \sin -50x &\cos -50x \end{pmatrix}$
Nu is $-50x=-750^{\circ}$ . We mogen altijd een veelvoud van $360^{\circ}$ bijvoegen zodat:
$A^{-50}=\begin{pmatrix} \cos -30^{\circ}&-\sin -30^{\circ}\\ \sin -30^{\circ} &\cos -30^{\circ} \end{pmatrix}$
Uitrekenen geeft
$A^{-50}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3}&1\\-1&\sqrt{3}\end{pmatrix}$