Tag archieven: cevianen

Hoektransversalen in een driehoek

Geplaatst op door

Neem een driehoek ABC. Een rechte l door een hoekpunt A van de driehoek heet hoektransversaal  of ceviaan van A. We onderzoeken onder welke voorwaarden de hoektransversalen van A,B en C door één punt gaan.

  1. Voor een willekeurig punt P op een hoektransversaal beschouwen we de verhouding van de afstanden tot de twee zijden.
    Omdat \dfrac{P_1R_1|}{|P_1Q_1|}=\dfrac{P_2R_2|}{|P_2Q_2|}, is deze verhouding constant. Noem deze constante v_1 Bij elke transversaal hoort een dergelijke constante. Bereken ze met de klok mee. Nu geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als v_1v_2v_3=1. Zo geldt bijvoorbeeld voor de binnenbissectrices van een driehoek dat v_1=v_2=v_3=1, dus: de drie binnenbissectrices van een driehoek gaan door één punt.
  2. Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan moet men aan de constanten v_i enkel een ander teken geven. Hetr esultaat van hierboven blijft behouden.
  3. We kunnen een hoektransversaal ook kenmerken door de verhouding u_i van de oppervlaktedelen waarin de driehoek door de ceviaan verdeeld wordt.
    U_1=\dfrac{\text{opp} AA'C}{\text{opp} AA'B}=\dfrac{|A'C|}{|A'B|}. Het is eenvoudig te zien dat u_1u_2u_3=v_1v_2v_3 en dus geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als u_1u_2u_3=1. Onder deze vorm is de stelling ook gekend als de stelling van Ceva.
  4. Nu geldt bijvoorbeeld voor de zwaartelijnen van een driehoek dat u_1=u_2=u_3=1, dus: de drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.
  5. We kunnen dit ook ondzerzoeken voor de drie hooigtelijnen.
    u_1=\dfrac{b \cos \gamma}{c \cos \beta}, u_2=\dfrac{c \cos \alpha}{a \cos \gamma} en u_3=\dfrac{a \cos \beta}{b \cos \alpha} en dus is u_1u_2u_3=1. Bijgevolg geldt: de drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.

De stellingen van Ceva en Menelaos

Geplaatst op door

Pareltjes uit de oude doos!

De stelling van Ceva zegt : AD, BE en CF snijden elkaar is 1 punt is equivalent met

    \[\dfrac{|AF|}{|FB|}.\dfrac{|BD|}{|DC|}.\dfrac{|CE|}{|EA|}=1\]

Hierbij moeten de verhoudingen opgevat worden als verhoudingen van de overeenkomstige vectoren, zodat de verhouding negatief is als de vectoren tegengesteld zijn. De transversalen AD, BE en CF  worden ook wel Cevianen genoemd. De stelling werd voor het eerst bewezen door Giovanni Ceva in zijn werk De lineis rectis uit 1678. 

Als we stelling van Ceva ‘vertalen’ (  punt wordt lijn en lijn wordt punt, lijn gaat door punt wordt punt ligt op lijn, snijpunt van 2 lijnen wordt verbindingslijnstuk van 2 punten) krijgen we de stelling van Menelaos:

Drie punten, D,E en F, gelegen op de zijden van een driehoek, liggen op één lijn als en slechts als 

    \[\dfrac{|AF|}{|FB|}.\dfrac{|BD|}{|DC|}.\dfrac{|CE|}{|EA|}=-1\]

Merk op dat de verhouding positief is als F tussen A en B ligt, en negatief als F buiten het lijnstuk AB ligt.