bewijzen | Wiskunde is leuk

Hoe bewijs je volgende formule?

$k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$

Het gaat zeer snel door gebruik te maken van de definitie van binomiaalcoëfficiënten. Maar er is ook een andere manier, die je ook kan gebruiken als het gebruik van de definitie wat ingewikkelder ligt. We verzinnen gewoon een verhaaltje …

Je wilt op school met n leerlingen een leerlingenraad van k personen oprichten, waarbij een voorzitter en een ondervoorzitter moeten aangeduid worden.

Het linkerlid van bovenstaande vergelijking komt overeen met volgende procedure: kies eerst k leden uit de n leerlingen. Dit kan op $\binom{n}{k}$ manieren. Kies in die groep van k gekozenen een voorzitter ( k mogelijkheden) en een ondervoorzitter ( k-1 mogelijkheden).
Het rechterlid correspondeert met de procedure: kies uit de n leerlingen eerst een voorzitter ( n mogelijkheden), dan een ondervoorzitter( n-1 mogelijkheden) en vul tenslotte aan tot je een groep van k leden hebt. Je moet dus nog k-2 leerlingen kiezen uit de n-2 beschikbare ( $\binom{n-2}{k-2}$ mogelijkheden).
Aangezien beide procedures hetzelfde probleem oplossen , zijn linkerlid en rechterlid gelijk aan elkaar.

De geschiedenis van ’Bewijs dat …’ begint, net als een sprookje, vele,
vele jaren geleden met ’Er was eens…’. Er was inderdaad eens een tijd
waarin geen bewijzen bestonden nl, tijdens de Babylonische periode,
want in de Babylonische wiskunde – 4000 jaar geleden – was er geen
spoor te vinden van het begrip bewijs, noch van enige deductieve redenering.
Babylonische wiskunde, zoals ook deze tijdens de Egyptische farao’s,
bestond uit recepten om een concreet probleem met concrete gegevens
op te lossen. Het was een wiskunde zonder bewijzen, zonder verklaringen!
Toch bleek na verloop van tijd ergens de noodzaak voor meer
structuur omdat elk gelijkaardig probleem telkens moest worden hernomen
volgens het gegeven recept.

Lees hier over de verschillende bewijstechnieken.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: bewijzen

Bewijzen met verhaaltjes

Bewijstechnieken