Axioma’s worden op een intuïtieve manier aangebracht als een soort van spelregels. Zonder besef van een deductief systeem heeft bewijsvoering immers geen zin.

We kunnen ook de keuze van een axiomasysteem proberen toe te lichten. We mogen zo een axiomasysteem niet koesteren als een goddelijke waarheid. Anderzijds moeten we ook beseffen dat we geen totale vrijheid hebben in het combineren van axioma’s. Het systeem moet consistent zijn, dus geen tegenspraak bevatten. dat is echter moeilijk na te gaan omdat axioma’s uitspraken zijn over primitieve begrippen. Om de consistentie aan te tonen gaat men gebruik maken van een model: een concrete interpretatie van de ongedefinieerde concepten. We geven een klein voorbeeld:

• Ax1: Elke x bevat minstens één y.
• Ax2: Er zijn minstens 2 y’s.
• Ax3: Als p en q twee y’s zijn, dan is er juist 1 x die zowel p als q bevat.
• Ax4: Als a een x is, dan is er een y niet in a.

Een mogelijk model is dan : x = rechte en y = punt

Van een axiomasysteem verlangen we nog een andere eigenschap: de onafhankelijkheid. Dit wil zeggen dat geen van de axioma’s kan worden afgeleid uit de andere. Om dat na te gaan moeten we dus modellen construeren die aan alle axioma’s, behalve die ene, voldoen.