axioma's | Wiskunde is leuk

Axioma’s worden op een intuïtieve manier aangebracht als een soort van spelregels. Zonder besef van een deductief systeem heeft bewijsvoering immers geen zin.

We kunnen ook de keuze van een axiomasysteem proberen toe te lichten. We mogen zo een axiomasysteem niet koesteren als een goddelijke waarheid. Anderzijds moeten we ook beseffen dat we geen totale vrijheid hebben in het combineren van axioma’s. Het systeem moet consistent zijn, dus geen tegenspraak bevatten. dat is echter moeilijk na te gaan omdat axioma’s uitspraken zijn over primitieve begrippen. Om de consistentie aan te tonen gaat men gebruik maken van een model: een concrete interpretatie van de ongedefinieerde concepten. We geven een klein voorbeeld:

Ax1: Elke x bevat minstens één y.
Ax2: Er zijn minstens 2 y’s.
Ax3: Als p en q twee y’s zijn, dan is er juist 1 x die zowel p als q bevat.
Ax4: Als a een x is, dan is er een y niet in a.

Een mogelijk model is dan : x = rechte en y = punt

Van een axiomasysteem verlangen we nog een andere eigenschap: de onafhankelijkheid. Dit wil zeggen dat geen van de axioma’s kan worden afgeleid uit de andere. Om dat na te gaan moeten we dus modellen construeren die aan alle axioma’s, behalve die ene, voldoen.

Andrei Nikolaevitch Kolmogorov ( 1903-1987) was een Russisch wiskundige. Op 17-jarige leeftijd begon hij zijn studies aan de staatsuniversiteit van Moskou. Zijn eerste onderzoeksresultaten verkreeg hij in de verzamelingenleer en de theorie van de Fourierreeksen.

In 1925 behaalde hij zijn graag aan de faculteit fysica en wiskunde. Via een samenwerking met Khinchin( 1894-1959) groeide zijn interesse in de kanstheorie en in 1929 publiceerde hij voor het eerst een axiomatische opbouw van deze discipline. De resultaten verschenen in grundbegriffe der Warscheinlichkeits-rechnung ( Ergernis der Mathematiek,Berlin,1933).

In 1931 werd hij professor aan de universiteit. Naast de grondslagen van de kanstheorie leverde hij ook belangrijke bijdragen aan het bewijs van de sterke wet van de grote aantallen, Markovprocessen en partiële differentiaalvergelijkingen. Hij was ook erg begaan met het schrijven over onderwijs in het algemeen en over wiskunde-onderwijs in het bijzonder. Hij richtte een school op voor kinderen met een bijzondere begaafdheid voor wiskunde. In 1940 kreeg hij de Sovjet Staatsprijs voor zijn onderzoek in de theorie van de stochastische processen en later in 1965 kreeg hij voor zijn werk de Leninprijs, de hoogste onderscheiding in de Sovjetunie.

Waaruit bestaat nu die axiomatische opbouw? Als U de uitkomstenverzameling is van een kansexperiment, dan is wordt een kansfunctie P gedefinieerd door volgende 3 axioma’s:

Het is een functie op de verzameling deelverzamelingen (gebeurtenissen) van U die met elke gebeurtenis een getal groter of gelijk aan nul associeert.
De kansfunctie P beeldt U af op 1, m.a.w. P(U) = 1.
De kansfunctie beeldt de unie van twee gescheiden gebeurtenissen af op de som van de beelden van elke gebeurtenis: P(A of B) = P(A) + P(B) ( tenminste als A en B geen elementen gemeen hebben)