afstand | Wiskunde is leuk

Om het begrip afstand te definiëren hebben we een metriek nodig. Dit kan je hier lezen. Een voorbeeld van een metriek in $\mathbb{R}^2$ is de Euclidische afstand, gedefinieerd door

$d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Hiermee is een norm gedefinieerd via

$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

en dan is

$d(x,y)=\Vert y-x\Vert$

In $\mathbb{R}^2$ is er ook een skalair product

$x.y=x_1x_2+y_1y_2$

Dit is een product met volgende eigenschappen:

$x.x \geq 0$ en $x.x=0 \Leftrightarrow x=0$ .
$x.y=y.x$
$x.(ry+sz)=r x.y +s x.z$

Het gegeven skalair product definieert dus de Euclidische metriek, via $\Vert x\Vert = \sqrtçx.x}$ . Maar dat is niet altijd zo. Er zijn metrieken waarmee geen skalair product is geassocieerd. Een voorbeeld is de Manhattan metriek

$d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

Er is geen skalair product dat hiermee correspondeert.

Normen die voldoen aan de parallellogram eigenschap kunnen een skalair product definiëren, andere niet:

$\Vert x+y \Vert +\Vert x-y \Vert=2(\Vert x \Vert+ \Vert y\Vert)$

We kennen allemaal het visueel evidente begrip afstand als ” de lengte van het deel van de rechte lijn tussen twee punten”, dat ontleend is aan de klassieke meetkunde. Daarbij bleef de term “rechte lijn” zelf ongedefinieerd of hoogstens werd er gezegd dat het de kortste weg was tussen twee punten, waarmee men in een cirkelredenering terecht kwam.

Bovendien is de afstand langs de rechte lijn niet altijd geschikt voor het oplossen van veel praktische en theoretische problemen.

Een transportfirma is bij het opstellen van een vervoersplan niets gebaat met de kennis van de afstanden in vogelvlucht tussen vertrek en aankomst, daar de vrachtwagens verplicht zijn het bestaande verkeersnet te volgen.
Een schip of vliegtuig is tijdens zijn reis verplicht de kromming van de aarde te volgen, daar het nu eenmaal niet mogelijk is in een rechte lijn door de aardkorst te boren.
Hoe zou je bijvoorbeeld de afstand tussen twee functies ( nodig bij het bestuderen van de convergentie van een rij van functies) kunnen definiëren?

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

Een afstand of metriek in een verzameling V is een afbeelding d die met twee elementen uit V een getal laat associëren die de volgende eigenschappen bezit:

De afstand is positief: $d(x,y) \geq 0$ .
x ligt even ver van y als y van x ( symmetrie ): $d(x,y)=d(y,x)$ .
Een omweg maken is steeds langer dan de rechtstreekse weg te nemen
( driehoeksongelijkheid ): $d(x,z) \leq d(x,z)+d(z,y)$
Iedere x ligt op een afstand 0 van zichzelf: $d(x,x)=0$
Het omgekeerde van vorige eigenschap: $d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y$

Een paar voorbeelden in het vlak:

De Euclidische afstand of metriek, gegeven door $d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ komt overeen met ons klassiek begrip afstand.
De Manhattan metriek,voor het eerst onderzocht aan het eind van de 19e eeuw door Hermann Minkowski, en wordt gegeven door $d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$ De naam verwijst naar de roostervormige opzet van de meeste lanen en straten op het eiland Manhattan, zoals vastgelegd in een plan uit 1811. Dit rooster zorgt ervoor dat de kortste route die een voetganger of auto kan nemen om de afstand tussen twee punten in de stad te overbruggen een lengte heeft die gelijk is aan de afstand tussen twee punten in de Manhattan-metriek. In onderstaande tekening zijn de lijnen in rood, geel en blauw drie voorbeelden van de Manhattan-afstand tussen de twee zwarte, ronde punten. Zij zijn alle drie 12 eenheden lang. De groene lijn stelt de volgens de Euclidische afstand kortste route voor tussen de twee punten.
Een ander voorbeeld kan je ook vinden in de codetheorie , waar men de Hamming-afstand definieert door het aantal posities te tellen waar de twee binaire codes van elkaar verschillen

Wiskunde is leuk

Tag archieven: afstand

Afstand en skalair product

Afstanden