Stelling van Stewart | Wiskunde is leuk

Onlangs vond ik op Facebook volgende opgave:

Matthew Stewart (1717-1785), een Schots wiskundige, publiceerde in 1746 een stelling waarmee je dit eenvoudig kan oplossen. De stelling berekent de lengte van een hoektransversaal $d=|CM|$ in een driehoek:

$cd^2=xa^2+yb^2-cxy$

Het bewijs ervan is eerder eenvoudig: gebruik 2 keer de cosinus regel om resp $a^2$ en $b^2$ te berekenen.

Voor die hoektransversaal kan men speciale ‘lijnen’ in de driehoek kiezen:

Als d de zwaartelijn is uit C, dan herleidt de formule zich tot
$d^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2)$
De gegeven opgave van Facebook heeft dan als oplossing $x=1$ .
Als d de bissectrice is uit C, dan krijgen we
$d^2=ab-xy$
Het bewijs steunt op de bissectrice stelling $x:y=b:a$

Dit pareltje uit de vlakke meetkunde wordt ook wel de stelling van Apollonius genoemd. Maar Apollonius van Perga formuleerde de stelling enkel voor $x=y$ , dus het geval dat de hoektransversaal de zwaartelijn is.