Spring naar de primaire inhoud

Wiskunde is leuk

Zoeken

Hoofdmenu

Artikels
Weetjes
Problem Solving
Olympiades
Theorie
Geschiedenis
Raadsels/spelen
Kleine nootjes
Python
WisKunst
Sangaku’s
Contact
Ik en mijn onderzoek
Wereldgeschiedenis
Wandelingen

Bericht navigatie

← Vorige Volgende →

Sangaku 5

Geplaatst op 4 februari 2021 door admin

Deze sangaku werd beschreven op een tablet van de Miyagi Prefecture uit 1912

Antwoord

We gaan op zoek naar de lengte van de schuine zijde van de groene rechthoekige driehoeken. Noteer de zijde van de regelmatige vijfhoek door a.
We leggen volgende notatie vast:
De scherpe hoek van de groene driehoek, die grenst aan de vijfhoek is $36^\circ$ (de helft van het supplement van de hoek van een vijfhoek, en die is $108^\circ$ ).
Driehoek $A_3A_4A_5$ is gelijkbenig en dus zijn de basishoeken elk $36^\circ$ . Volgens de cosinusregel is $l^2=2a^2(1-\cos 108^\circ)=4a^2\sin^2 72^\circ=4a^2\cos36^\circ$
Hieruit volgt dat $l=2a\cos 36^\circ$ .
In driehoek $A_3MA_5$ is $h=l\sin 72^\circ$ . Samen met vorig resultaat geeft dit dat $h=2a\cos 35^\circ \sin 72^\circ$ .
In driehoek $A_3MP$ is $c=\frac{h}{\cos 54^\circ}=\frac{2a\cos 35^\circ \sin 72^\circ}{\cos 54^\circ}$ .
Tenslotte, in driehoek $A_3PH$ is $t=\frac{c}{\cos 36^\circ}$ .
Hierin kunnen we c invullen en krijgen we, omdat $\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ :
$t=a(1+\sqrt{5})$

Dit bericht werd geplaatst in Sangaku's en getagd cosinus regel, sangaku, vijfhoeken door admin . Bookmark de permalink .

Ondersteund door WordPress