Sangaku 3

Geplaatst op door

Antwoord

  • We zien hier 3 cirkels die elkaar uitwendig raken en die alle 3 eenzelfde rechte raken. We zoeken een verband tussen de stralen. Noem die, van links naar rechts, r_1,r_2 en r_3.
  • Bij twee dergelijke cirkels zien we dat

        \[|xy|^2=(r+s)^2-(r-s)^2=4rs\]

  • We kunnen dit 3 keer toepassen in de gegeven sangaku: de twee linkse cirkels, de twee rechtse cirkels en de meest linkse met de meest rechtse. Zo vinden we \sqrt{r_1r_3}=\sqrt{r_1r_2}+\sqrt{r_2r_3}
  • Na deling van beide leden door \sqrt{r_1r_2r_3}, vinden we:

        \[\frac{1}{\sqrt{r_2}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_3}}\]