Principe van Cavalieri | Wiskunde is leuk

Bonavatura Cavalieri ( 1598 – 1647) was een Italiaanse wiskundige. Hij is bij ons vooral gekend om het volgende principe:

Twee objecten met dezelfde hoogte en met, op elke niveau , een dwarsdoorsnede met dezelfde oppervlakte, hebben een gelijk volume.

Zo kan men bijvoorbeeld de inhoud van een bol bepalen:

Links zie je een halve bol met straal r en rechts een cilinder met straal r en hoogte r, waaruit een kegel gehaald is. De dwarsdoorsnede op een hoogte x boven het vlak P voor de linkse figuur is een schijf met straal $\sqrt{r^2-x^2}$ . De oppervlakte is dus $\pi(r^2-x^2)$ . De dwarsdoorsnede van de rechtse figuur is een ring begrensd door twee cirkels met stralen r en x. De oppervlakte is $\pi r^2-\pi x^2$ . Volgens het principe van Cavalieri hebben beide figuren dus hetzelfde volume. De inhoud van een halve bol is dus $\pi r^2.r -\frac{1}{3} \pi r^2.r=\frac{2}{3}\pi r^3$ en dus is de inhoud van een bol gelijk aan $\frac{4}{3}\pi r^3$ .

Het principe kan ook toegepast worden op de oppervlakte van vlakke figuren te berekenen. Zo is de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want elke dwarsdoorsnede heeft dezelfde lengte bij rechthoek en parallellogram.