Toon aan dat volgende veeltermfunctie nooit de getalwaarde 33 aanneemt voor willekeurige gehele waarden van x en y.

$f(x)=x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5$

Antwoord

We moeten bewijzen dat de vergelijking
$x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 =33$

geen oplossingen heeft voor gehele waarden van x en y. We stellen onmiddellijk vast dat x en y zeker verschillend van nul moeten zijn.
Er bestaan geen algemene methoden om een vijfde graads vergelijking op te lossen. We zouden eventueel $x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 -33$ kunnen proberen te ontbinden in factoren om zo bovenstaande vergelijking op te lossen. Maar dit lukt niet.
Maar de uitdrukking $x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5$ kunnen we wel ontbinden als
$(x-2y)(x-y)(x+y)(x+2y)(x+3y)$
Het probleem wordt dus herleid tot : bewijs dat $(x-2y)(x-y)(x+y)(x+2y)(x+3y)=33$ geen oplossingen heeft voor gehele waarden van x en y.
Nu heeft 33 als delers $\pm1, \pm 3,\pm 11,\pm 33$ . We kunnen 33 dus hoogstens schrijven als het product van 4 verschillende gehele getallen ( vier positieve ofwel 2 negatieve en 2 positieve). Omdat x en y geheel moeten zijn is het linkerlid van vorige vergelijking steeds het product van 5 verschillende gehele getallen.
Bijgevolg heeft de vorige vergelijking geen oplossingen voor gehele waarden van x en y.