Opgave 39 | Wiskunde is leuk

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm
$3^m+3^n+1$
met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Antwoord

Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat
$3^3+3^n+2=k^2$
Dan is $3^m+3^n=(k+1)(k-1)$ . Omdat het linkerlid even is en omdat $k-1$ en $k+1$ dezelfde pariteit hebben, zijn $k-1$ en $k+1$ opeenvolgende even getallen.
Dit betekent ook dat ofwel $k-1$ ofwel $k+1$ een viervoud is. Het rechterlid $(k-1)(k+1)$ is dus deelbaar door 8.
Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som $3^m+3^n$ is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
Bijgevolg kan $3^m+3^n+1$ nooit een volkomen kwadraat zijn.