Opgave 28 | Wiskunde is leuk

Antwoord

Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de twee andere zijden. Bijgevolg is de langste zijde van de gezochte driehoeken $\leq 1009$ .
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1009, dan kunnen de andere twee zijden gelijk zijn aan : $(1009,1),(1008,2),\cdots,(505,505)$ . Er zijn dus 505 mogelijke driehoeken.
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1008, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(1008,3),(1007,4),\cdots,(506,505)$ . Er zijn dus 503 mogelijke driehoeken.
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1007, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(1007,5),(1006,6),\cdots,(506,506)$ . Er zijn dus 502 mogelijke driehoeken.
Daal verder af…
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 674, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(674,671),(673,672)$ . Er zijn dus 2 mogelijke driehoeken.
Tenslotte blijft er de gelijkzijdige driehoek met zijde 673 over.
Het totaal aantal mogelijkheden is $S=505+503+502+500+\cdots+4+2+1$ .
Herschikking geeft $S=505+(503+1)+(502+2)+(500+504)+\cdots$ . Dit geeft $S=505+504 \times 168 =85177$ .