Gegeven: $A(x)=x^4+4x^3+8x^2+4x+16$ . Zoek alle getallen x waarvoor $A(x)$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

Het is duidelijk dat $A(0)=16$ een volkomen kwadraat is. Zijn er nog andere mogelijkheden?
$A(x)$ lijkt op $B(x)=(x+1)^4=(x^2+2x+1)^2$ : namelijk $A(x)=B(x)+(2x^2+15)$ . Met andere woorden $A(x)$ is zeker groter dan $(x^2+2x+1)^2$ .
Neem $C(x)=(x^2+2x+2)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $4x-12=0$ of $x=3$ .
Neem $C(x)=(x^2+2x+3)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $2x^2+8x-7=0$ . Dit heeft geen gehele oplossingen.
Neem $C(x)=(x^2+2x+4)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $4x^2+12x=0$ . Bijgevolg is $x=0$ of $x=-3$ .
Neem $C(x)=(x^2+2x+5)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $6x^2+16x+9=0$ en hier zijn geen gehele oplossingen mogelijk.
Neem $C(x)=(x^2+2x+6)^2$ . Dan is $A(x)=C(x)-(8x^2+20x+20)$ . Hieruit volgt dat $A(x)< C(x)$ en dus stopt ons onderzoek hier.
De enige oplossingen zijn 0,3,-3. Hierbij is $A(0)=16=4^2$ , $A(3)=289=17^2$ en $A(-3)=49=7^2$ .
Gelukkig kunnen we $A(x)$ naar boven begrenzen, anders zou het proces oneindig lang verdergaan.