Opgave 2 | Wiskunde is leuk

Bewijs dat voor alle positieve $x \leq y \leq z$ geldt dat

$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y} \geq \dfrac{xy}{y+z}+\dfrac{yz}{x+z}+\dfrac{zx}{x+y }$

Antwoord

Als $x \leq y \leq z$ , dan is $-z \leq -y \leq -x$ . Door overal $x+y+z$ op te tellen vinden we dan dat $x+y \leq x+z \leq y+z$ en $\dfrac{1}{y+z}\leq \dfrac{1}{x+z}\leq\dfrac{1}{x+y}$ .
Door de ongelijkheden $x \leq y \leq z$ en $\dfrac{1}{y+z}\leq \dfrac{1}{x+z} \leq \dfrac{1}{x+y}$ lid per lid te vermenigvuldigen ( getallen zijn allemaal positief) krijgen we : $\dfrac{x}{y+z}\leq \dfrac{y}{x+z} \leq\dfrac{z}{x+y}$ .
Dan zijn $(x,y,z)$ en $(\dfrac{x}{y+z},\dfrac{y}{x+z},\dfrac{z}{x+y})$ gelijk geordend.
Gebruik van de herschikkingsongelijkheid geeft de oplossing.