Opgave 17

Geplaatst op door

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Antwoord

  • We roteren driehoek ABC rond A over 60°.
    BP’ is het beeld van CP en heeft dus lengte 5. Bovendien is driehoek APP’ gelijkzijdig en dus heeft PP’ lengte 3. Bijgevolg is driehoek BPP’ een 3-4-5 driehoek en dus rechthoekig.
  • Driehoek APP’ is gelijkzijdig en dus zijn alle hoeken 60°. Daarom meet de hoek BPA juist 90°+60°=150°.
  • We kunnen in driehoek BPA, met behulp van de cosinusregel de lengte van AB berekenen: |AB|^2=3^2+4^2-2.3.4.\cos 150°=25+12\sqrt{3}.
  • De zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC heeft als lengte \sqrt{25+12\sqrt{3}}.