Voor 3 positieve getallen a,b en c geldt:
![\[\frac{9}{2(a+b+c)}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\]](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-300aaf46d499f77cb0845567b47e9e99_l3.png?media=1678572382 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Antwoord
- In de eerste ongelijkheid stellen we
, 
en 
, dan wordt de opgave herschreven als 
of 
. - We werken de haakjes uit en vinden:
. - Uit de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde vinden we dat
, dus het linkerlid uit vorig punt is groter of gelijk aan 
wat moest bewezen worden. - Voor het tweede deel van de ongelijkheid gebruiken we de ongelijkheid over het harmonisch en meetkundig gemiddelde:
. Volgens de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde is bovendien 
. - Pas dit nu toe op de drie termen van het linkerlid van de gevraagde ongelijkheid en het bewijs is klaar.