Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Antwoord

We maken eerst een tekening
We kunnen beter bewijzen dat de oppervlakte van de driehoeken ABH en BJC dezelfde zijn door bij de opgave de oppervlakte van BIH toe te voegen aan beide delen.
Dus moet $|BH|.|AC|=|JC|.|BC|$ of $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|JC|}{|BH|}$ .
Nu zijn de driehoeken ACH en BGH gelijkvormig (HH= rechte hoek en overstaande hoeken), dus geldt $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|HC|}{|BH|}$ . Bijgevolg rest ons te bewijzen dat $|JC|=|HC|$ .
Ook driehoeken BJC en BED zijn gelijkvormig ( HH= gemeenschappelijke hoek en rechte hoek), dus is $\dfrac{|JC|}{|ED|}=\dfrac{|BC|}{|BD|}$ of $|JC|.|BD|=|BC|.|ED|$ . Bijgevolg is $|JC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AHC en AGF volgt op een analoge wijze dat $|HC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de twee laatste formules volgt dan inderdaad dat $|JC|=|HC|$ , net wat we wilden bewijzen.