Nootje 9 | Wiskunde is leuk

Antwoord

Noteer de drie zijden van de driehoek door $a,b$ en $c$ en de hoogtelijnen door $h_a,h_b$ en $h_c$ .
Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde.
Veronderstel dat $a$ de grootste zijde is dan is $a\geq \frac{2}{3}$ .
De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan $\frac{1}{2}a.h_a$ , maar ook gelijk aan $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ . Hierin is $p$ de halve omtrek en dus is $p=1$ .
Bijgevolg is $\frac{1}{2}a.h_a = \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ of $h_a=\frac{2}{a}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 3\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ .
Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : $\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{1}{\sqrt{27}}$ .
Ten slotte is dus $h_a \leq 3.\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .